TROISIÈME PARTIE. 54; 



Cela posé , soit en général a un diviseur quadratique de la formule 

 /* + cï/*, lequel se décompose en trois quarrés de cette manière : 



ù. — (my-\-nzy-\- (my-^7i'z)^+ (my + 7i'z)\ 



la valeur trinaire de c correspondante à cette forme sera 



c = (m n — rr^ny + (ni!n" — m'n)* + (m'n — m n'y. 



Soit N un nombre quelconque compris dans le diviseur a , on pourra 

 supposer 



N—CmA^nCy-\. (jn'cf\-n'cy-\- (m"cc-\-n"cy ; 



et telles sont , dans le sens du théorème , les valeurs trinaires de N 

 et de c déduites du diviseur A, 



Cherchons maintenant , d'après cette valeur de iV, le diviseur 

 correspondant de la formule t^'\-Nu^^ et pour cela nous supposerons 

 d'abord que les trois termes composant la valeur de N ne sont pas 

 divisibles par un même nombre. Nous ferons donc , suivant la 

 méthode développée dans le J. précédent , 



m ct-\-n C z=zfiJL V 



m'ct-\-n'C = gv \ 



rn'a. -}- n"C=z A a |w , 



ce qui donnera N" --^fy-^v" -^ g'^v^h* + h^K'^f^^, et le diviseur trinaire de 

 la formule t^-\-Nu^ correspondant à cette valeur, sera t-=.k''x^-\' 

 l/.^x"'-\-v''x"'^ : formule où les indéterminées x , x', x'\ doivent satis- 

 faire à la condition fx+gx' + hx' = o. Il reste donc à prouver que 

 le nombre cest compris dans le diviseur r, et qu'il y est compris sous 

 la forme trinaire déjà trouvée. Or les équations ci-dessus donnent : 



(m n — m'n) a = v (fii.n' — g^^) > (^ ^ — mn) C = v (ghm — -fiJ^m' ) 

 (m'n' — m"n')ct=iK(gvn' — him' ) , (m'n' — m"n')C-=zK(ïn/.m' — gvm!) 

 (m"n — mn") !i^=y.(h>^n — -fvn") , (m!'n — mn')C-=^i^(fjm' — hh.m)^ 



et comme on suppose toujours a et C premiers entr'eux , on pourra 

 déterminer ^ et 5 d'après l'équation st^ — CB=i'y puis faisant 

 pour abréger , 



hr=u4(gy n' — JuJ^n') — B (h fjt. m' — g v m") 

 k' = ^(hKn^fvn")^B(fvm"-^hKm) 



k!' = ^ (f(A n!^gh n)-^ B (g^m — fy^ m') , 

 on aura 



Xxa 



