TROISIÈME PARTIE. 54g 



composant c , il sera toujours vrai de dire que si N est compris 

 dans un diviseur trinaire de i*4-cz/% réciproquement c sera compris 

 dans un diviseur trinaire de f' + Nu''. Car alors faisant N='\-''N' et 

 c = 4* c\ il est clair que si N' est diviseur de f -\- c'u^^ il s'ensuit que 

 iV"est diviseur de f + c u'^ -, et si en même temps c est diviseur de 

 P-Y N'u"", il s'ensuivra également que c est diviseur de ^-f -ZVz^". 



Toujours est-il nécessaire , si les trois quarrés qui composent c 

 ont un facteur commun 4% que les trois quarrés qui composent ISF 

 aient le même commun diviseur , sans quoi il ne pourra se faire 

 que c divise t^ + Nu". Mais on voit en même temps que les facteurs 

 communs, lorsqu'il y en a^ sont en quelque sorte étrangers à la 

 propriété dont il s'agit , et qu'ils n'apportent aucun changement 

 à la proposition principale , dans laquelle on peut supposer cons- 

 tamment que les trois quarrés composant c n'ont point de facteur 

 commun. Et de cette supposition il s'ensuivra nécessairement que 

 les trois quarrés composant iV n'auront pas non plus de facteur 

 commun. 



Il est à remarquer , au reste , que cette supposition n'exclut 

 pas le cas où le nombre c seroit quarré ou divisible par un quarré. 

 Car rien n'empêche qu'un nombre qui est quarré ou divisible par 

 un quarré, ne soit composé de trois quarrés qui n'ont pas de com- 

 mun diviseur j tels sont 9 = 4 + 4+1, 45 ==25+1 6 + 4, et ainsi 

 des autres. D'où il suit qu'il n'y a non plus aucune valeur de N 

 exclue. Voici des exemples qui ne laisseront là-dessus aucun doute. 



(287) Le nombre 1 1 7 étant mis sous la forme trinaire 1 00 + 1 6 + i , 

 le diviseur de ^^+1172^'' correspondant à cette forme est 



Je prends à dessein le nombre g compris dans ce diviseur, et 

 comme g se trouve en faisant jk= 1 , z = o , je substitue ces va- 

 leurs dans la forme trinaire du diviseur indéterminé , et j'ai la 

 forme trinaire 4 + 4+ 1 pour le diviseur déterminé 9. Je clierclie 

 ensuite j par les méthodes précédentes , le diviseur dei' + g;/^ qui 

 répond à cette forme , je trouve 



'2y'+2yz + 5z'=j^-\-(j-\-z)'-i-^Lz\ 

 Il faut donc réciproquement que le nombre 11736 trouve compris dans 



