55o THÉORIE DES NOMBRES. 



ce diviseur. En effet, si Pon forme Féquation iiy=2f^-\-2fzi-5z*j 

 et qu'ensuite on la multiplie par 2 , on aura 234= (•2y-\-z)''-\-^z''y 



ou 26 == ( — - — j +z*. Soit donc z= 1 , on aura— -^^7 — =±5 , 



ce qui donnera y =7 ou — 8 , valeurs d'où résulte également 



r^y^ -I- 2 j^ z + 5 z* = n 7 = 8* -f 7°^ + 2"*. Cette valeur n'est pas la forme 



trinaire donnée 5 mais on peut obtenir une autre solution en faisant 



2 y-{-z 

 z:=5 , -^^ — = rh I , ce qui donnera y= — 1 ou — 4 , et alors 



2y''-\-2y z + 5z^= 117 = 10' + 4^+ 1% forme proposée, 



^utre exemple. Le nombre 45 étant mis sous la forme 25+i6 + 4, 

 le diviseur de f'-^-^iôu" qui en résulte est 



5y'+ioyz-\-i4:z^ = (2y-\-5z)^ + (y—'z)^-\-4:z\ 

 Soit y =5 , z:=S , on aura le diviseur particulier 



i42i =54»+3*+i6». 

 Si d'après cette forme trinaire on cherche le diviseur de /"+ 1421 i/% 

 on trouvera 



/i5y''i-54yz-{-d8z' = (4y + 6z)'' + (5y-'z)^-i-(7y'-z)% 

 dans lequel il est visible que 4^ est compris. Et comme pour avoir 

 45 , il faut faire ^= 1 , z = o ^ la forme trinaire qui en résulte est 



45 = 4^ + 5^+2% 

 la même que celle d'où on est parti. Ainsi on voit que quoique 45 

 et i42i aient des facteurs quarrés et inégaux (car 1421 = 29.49) , 

 la proposition est toujours vérifiée , et la forme trinaire i" -\- 5" -\- 2* 

 est tellement liée avec la forme trinaire 34^+ 16'' + 3*, que l'une 

 sert à faire retrouver l'autre. 



(288) Théorème IX. Si le diviseur quadratique py*-{-2qyz-{-rz' 

 relatif à la formule t* + cu'', est susceptible de plusieurs formes 

 trinaires , et que dans ces diverses formes on substitue pour y et z 

 les valeurs déterminées y r=: «t , z == ^, yV dis que les formes trinaires 

 qui en résulteront pour le nombre déterminé p a* -|- 2 q a C+ r C^ = N , 

 seront différentes entr^ elles , au moins tant que N surpassera y c. 



En effet , si l'on cherche par une analyse directe quels sont les 

 cas où deux formes trinaires du diviseur A , appliquées à un nombre 

 particulier iV, donnent une même valeur trinaire de ce nombre , 



