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on trouvera que N ne peut surpasser f c. C'est ce que nous allons 

 développer avec Fétendue nécessaire. 



Supposons que le diviseur quadratique joj/' + 2 ^j^^ -4-7-^'' = A se 

 décompose en trois quarrés de ces deux manières : 



A = (my ■\-nzy-\- (m'y + n'z^ + (m'y + n"z)'' 



A = (i^y\-vzr+(i^'y^v'zr-v(i^y-\-v"z)\ 



en sorte qu'on ait 



pr=m'-\- m"- -f m"' = /a'+^'^-f/'» 

 q = mn + m'n' + m"n":= y. v + y!v' + yS" 

 r — 7f ■\- n'^ -^ n"^ = r" + /» + /'" 5 



si les valeurs particulières de y et de ;s qui rendent le diviseur A 

 égal à N sont telles que les deux formes Irinaires de a se réduisent 

 à une seule de iV , il faudra qu'on ait 



y V — 11 v' — n' v" — n" 



z m. — (U. 77Z — \t- m — ^ 

 (car on peut supposer alors que les trois quarrés composant les 

 formes trinaires de A sont égaux terme à terme , et leurs racines 

 de même signe ). 



Mais comme 7 et 2 doivent toujours être premiers entr'eux, 



il est clair que - est l'expression la plus simple de ces fractions 



égales , et qu'ainsi en prenant trois nouvelles indéterminées a, o', d\ 

 on pourra faire 



m — \j.:=ia z , m — /-t' = a' z , rrî' — i*^' = d'z , 



/ Il II II ^1' 



V — n-=- a y , v — n =^ay , v — n = a y. 



Tirant de ces équations les valeurs de z^, v, //', /, y.", v'\ et les subs- 

 tituant dans les quantités égales à p , q , r , on aura après les 

 réductions, 



^ z (a" + d^ + d"") ^ma^ m'd—- m'' a' = o 

 iy (a' + d' + d') + 72 « + n' d -f n' d'= o 



] (A) 



y z (a'-\-d' + d') -j- (n a + nd-\- nd) z )_ 

 — (m a H- m!d + ni'd' )y ) 



où Ton voit que la troisième équation est une suite des deux autres , 

 et qu'ainsi il suffit de satisfaire à celles-ci. 



