554 THEORIE DES NOMBRES. 



(291) Si on revient maintenant aux équations (A) , et qu'on 

 ne suppose plus aucune valeur particulière aux nombres a , a! , à'^ 

 on trouvera par une analj^'se semblable , que le plus grand nombre N 

 pour lequel les deux formes trinaires sont identiques , estgénérale- 



ment N-= — -^ ^^ ; ainsi si on supposoit <2 = r , a^= 1 , a'^= 3, 



Cl -\- Cl -\- Cl 



on auroit iV"=|c. Et comme il faut toujours que a' + a"" + o^''* soit 

 un nombre pair (afin que j^ et z n'aient pas de commun diviseur) , 

 il s'ensuit que l'hypothèse qui donne le plus grand résultat possi- 

 ble j est celle que nous avons examinée en détail , et qui donne 

 iV= j c , conformément à l'énoncé du théorème. 



(292) Théorème X. Si le nombre N est compris de m manières 

 différentes clans un ou plusieurs diviseurs quadratiques de la for- 

 mule t"" + c u'^j si en outre chacun de ces diviseurs peut se décom- 

 poser en trois quarrés de n manières différentes , et qu'en consé- 

 quence le nombre N reçoive , comme diviseur de la formule t^-l-cu% 

 m n valeurs trinaires , je dis que toutes ces formes trinaires seront 

 différentes les unes des autres , excepté toutefois dans les cas 

 cil N étant plus petit que c^ , on pourroit satisfaire à l'équation 



C=^ = y^ + Nz". 



En effet y l'une des formes trinaires de N peut toujours être 

 représentée par la formule iV=: a^^''-1-//^^=' + i'^C% en supposant 

 que la valeur correspondante de c soit f'yJ^v'^-^g'v-K'-rlfK'iJi'', et 

 qu'on ait entre les nombres -^, J5, C, la relation y^-l-^'^-rAC=o, 



Une seconde forme trinaire de N pourra de même être repré- 

 sentée parla formule iV = A"^''+ /t^'^jB'' + i''''C'% en supposant sem- 

 blablementc^/V'>'''-!-5'''''''^" + ^''^V% ei f.'^' -{-g'B' -Vh'C'^o, 



Maintenant si l'on veut que ces deux valeurs trinaires de iV 

 soient identiques , ilfaudra faire K^=LK'^\y.B=^i^B\ vC-=v'C 

 Tirant de ces équations les valeurs de ^', B\ C, et les subs- 

 tituant dans l'équation y'^' + .o''^'-f/i' C' = o , on aura 

 fyJv' . A ^ -\-g'v'K' .ixB-\- h'K'y/ ,vC = o. 



Celle-ci étant combinée avec l'équation f^-\-gB-\-hC=^o , il 

 en résultera 



