562 THÉORIE DES NOMBRES. 



Enfin la troisième espèce est décomposable , mais les trois quar 

 rés qui en résultent pour la valeur correspondante de c ont tou- 

 jours un commun diviseur. Et ainsi cette troisième espèce ne peut 

 avoir lieu que lorsque le nombre c est divisible par un quarré. 



(299) Voici maintenant les remarques que présentent les divi- 

 seurs selon la nature du nombre c. 



1°. Lorsque le nombre c est premier, les diviseurs quadratiques 

 472 + 2 sont tous de la^ première espèce , et de plus , chaque divi- 

 seur n'est décomposable en trois quarrés que d'une seule manière. 



2°. Lorsque le nombre c est composé, et qu'il n'a que des fac- 

 teurs simples , comme 35 , 5i , 91 , &c. , il y a toujours un ou 

 plusieurs diviseurs de la seconde espèce j il ne peut y en avoir de 

 la troisième. 



5°. Lorsque le nombre c est divisible par un quarré , il y a tou- 

 jours un ou plusieurs diviseurs de la troisième espèce. Il peut y 

 en avoir en même temps de la seconde. 



4°. Dans tous les cas , il y a des diviseurs de la première espèce^ 

 ce qui suppose que tout nombre 872+ 3 est la somme de trois 

 quarrés, conformément au théorème de Fermât (n°. i55) 5 mais 

 on voit, de plus , que la décomposition en trois quarrés peut tou- 

 jours être faite de manière que ces trois quarrés n'aient pas de 

 commun diviseur. 



5°. Lorsque c est un nombre composé^ tout diviseur quadra- 

 tique de première espèce se développe en autant de formes tri- 

 naires qu'il y a de manières de former c du produit de deux fac- 

 teurs. 



Dans cette Table , ainsi que dans la précédente , les diviseurs 

 trinaires de la première espèce sont développés en trois quarrés 

 de toutes les manières possibles , et on a mis en même temps , 

 vis-à-vis de chaque forme trinaire du diviseur, la forme trinaire 

 correspondante de c. Quant aux diviseurs de la troisième espèce, 

 ou a indiqué seulement une de leurs formes trinaires. 



TABLE X. 



(300) Cette Table contient les diviseurs quadratiques 8/2+ 1 et 

 8724-3 de la formule ^*+2aw% a étant un nombre de la forme 



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