566 THÉORIE DES NOMBRES. 



§, Yî. Théorèmes comprenant la démonstration des 

 propriétés ohservées dans les Tables. 



(3o2) Théorème XI. iJo/r p y" + '2 qyz-^rz'' un dipîseurçua-'. 

 dratique de la formule t' -f c u"", et soient p ^^ c premiers entreux • 

 si l'on suppose que c est diviseur de t^'-fpu'', je dis que c sera 

 diviseur c?^ t^ + Nu% N étant un nombre quelconque renfermé dans 

 la formule ■çy'^-\- 2 (\yi-\-TZ^. 



En effet , soit N=pct' + 2q<iC-{- rC\ on aura pN'= (px + qC)^ + cC\ 

 Mais par hypothèse , c est diviseur de t^'+p u% donc il existe un en- 



tier K , tel que est un entier. Donc ~ sera aussi un 



c c 



entier : mettant au lieu depjy sa valeur^ on aura =— =e^ 



c 



Or c et & sont premiers entr'eux ; car s'ils avoient un commun 



diviseur 9 , l'expression — étant un entier , il faudroit que p 



et c eussent le même commun diviseur &, ce qui est contre la 

 supposition. Donc on peut {^dire pA + q C=:l[;x + cu , et on aura 



' = e. Donc c est diviseur de x'^ + N^ ou en général delà 



formule t^-\-Nu\ \ 



Remarque. La même proposition aura lieu , en supposant seiir 

 lement que le diviseur quadratique j!?y'' -f 2 ç'j^ ;s + r z° renferme un 

 nombre p premier à c , et tel que c soit diviseur de t-^-p'u". Car 

 on pourra toujours , par une transformation , faire en sorte que 

 ce nombre p' tienne la place du premier coefficient p (n*^. 23 1). 

 Donc si un seul nombre p premier à c , et contenu dans le 

 diviseur quadratique pj/'' -1-2 ^jj/^s + r^s"", est tel que c soit diviseur 

 de t-^-pu""^ tout nombre N compris dans ce même diviseur qua- 

 dratique jouira de la même propriété 5 de sorte que c sera toujours 

 4i viseur de la formule f-^-Nu^ 



