368 THÉORIE DES NOMBRES. 



Considérons encore la formule <^-f45zr et son diviseur quadra- 

 tique j'-f 2 y z+ 46 ^^ Pour déterminer la nature de ce diviseur^ 

 je prends le coefficient 1 du premier terme , et je clierche si 45 

 divise i'+ w^'. Mais on voit tout de suite que 3 ne divise point 

 /*-|-z/% donc 45 ne peut le diviser ( car on suppose toujours têtu 

 premiers entr'eux). Donc le diviseur dont il s'agit est un diviseur 



lion réciproque. 



Remarque. 



(305) Les propriétés contenues dans ces deux théorèmes, et 

 celles qui font le sujet de tout ce paragraphe, ne concernent pas 

 tous les diviseurs quadratiques de la formule V + c u% mais seu- 

 lement ceux qui sont de nature à eritrer dans les Tables VIll ^ 

 IX, X et XI. Sur quoi il faut se rappeler , 



*i°. Que la Table VIII, lorsque c = 8;2-i- 1 , contient les diviseurs 

 4/Z+ 1 , et les diviseurs 8/2 + 2 de la formule i^^cu\ 



2°. Que la même Table VIII, lorsque c = 872 + 6, contient les 

 diviseurs 4 /2+ 1 et les diviseurs 8 72 + 6 de la formule t^'[-cu\ 



3^. Que la Table JX, où ^ = 8 72 + 3, contient généralement 

 tous les diviseurs 4/2+2 de la formule r + c«*. 



4°. Que la Table X , où c=8/2 + 2 , contient les diviseurs 8/2+ 1 ,• 

 8/2 + 3, et les diviseurs 16/2+10, 16/2+ i4 de la formule r + 072'. 



5\ Que la Table XI, où ^==872 + 6, contient les diviseurs 

 8/2 + 3, 8/2 + 5, et les diviseurs 16/2 + 2 , 16/2+ i4 de la formule 

 t'^-\-c u"^. 



Ces Tables n'offi-ent , ni dans les nombres c, ni dans les divi- 

 seurs particuliers de la formule ^= + c2^% aucun nombre divisible 

 par 4^, ui aucun nonibre 8/2 + 7. 



(306) Théorème XIII. Si le nombre c est premier ou double 

 d'un premier , tout diviseur quadratique de la formule t° + c u* 

 sera un diviseur réciproque. ( On ne parle ici que des diviseurs 

 compris dans les Tables VIII, IX, X etXJ). 



Il y a quatre cas à examiner, selon que le nombre c se rap- 

 porte à Tune des quatre Tables citées. 



1*'. Si c est un nombre premier de forme 4/2+ 1 , il a déjà été 



démontré 



