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qu'il existe un nombre premier N également de forme 4^z -f i ^ 

 tel que c soit diviseur de t+Nu^, il s'ensuivra (n°. 196) que 



(— ) = 1 ou que N est diviseur de f' + cu'', et qu'ainsi le diviseur 



quadratique qui contient N" est un diviseur réciproque , ce qui est la 

 première partie du théorème. 



Pour cet efFet ^ décomposons e en ses facteurs premiers égaux 

 ou inégaux : soient et , a, a!' ^ &c. les facteurs 4/2+ 1 , et é" , é", Q" ^ &c. 

 les facteurs i/z — 1 , ceux-ci étant en nombre pair , puisque c est 

 de forme 4w+ 1. On aura donc c^=eta!a!' , . . CC C^'C^"-^ et pour que c 

 divise la formule /'-f- Nu'' , il faut qu'on ait les diverses égalités- 

 conditionnelles 



© = • ' (?)=• ' (?)='' ^<=- 



/N\ /N\ /N\ 



Or chacune de ces conditions (rapportée à un dénominateur 

 différent ) fournit en général plusieurs valeurs linéaires de N 

 (n°. 193) , et ces valeurs étant combinées entr'elles y pour satis- 

 faire à toutes les équations , donneront un grand nombre de for- 

 mules dont chacune contient une infinité de nombres premiers 5. 

 il n'y a donc aucun lieu de douter qu'on ne puisse trouver un 

 nombre premier iV qui satisfasse à la condition requise j et ce 

 nombre premier JV déterminera à lui seul (n°. 2^2) un diviseur 

 quadratique de la formule /"-i-c^^%leq^uel sera réciproque (a°. 5o4 ) y 

 puisque c divise t^' + Nu". 



Venons maintenant à la seconde partie du théorème, et prouvons 

 que la formule f-\-cu'' a aussi un diviseur quadratique 4/2-f 1 non 

 réciproque. 



Soit c ■= c'9 , 9 étant un nombre premier que nous supposerons 

 d'abord de forme in-\-i. On cherchera (1) un nombre premier N 



(1) Pour faire voir comment on peut trouver la forme générale des nombres N 

 qui satisfont à ces conditions , prenons un cas particulier , et supposons que c' est 



composé du produit de trois facteurs premiers et fc 7 ; la condition i — rp — J =■ — 1 

 pourra être remplie de plusieurs manières. Par exemple ; on pourra supposer 



