^72 THÉORIE DES NOMBRES. 



ainsi on ne pourroit plus satisfaire aux deux conditions ( — ) = — i , 



r — j = — I , résultat qui s'accorde avec le théorème XIII. 



. (3o8) Théorème XV. Tout diviseur quadratique de première 

 espèce est un diviseur réciproque. 



Car soit a un diviseur quadratique de première espèce , il y aura 

 toujours une forme trinaire de a telle que les trois termes com- 

 posant la valeur correspondante de c ne seront pas divisibles par 

 un même quarré. Cela posé , il a été démontré , n°. 385 , que si N 

 est un nombre quelconque compris dans le diviseur A , récipro- 

 quement c sera diviseur de /'-f-iV^a'. Donc le diviseur a est un 

 diviseur réciproque. 



( Sog ) On trouve dans les Tables quelques exemples de diviseurs 

 quadratiques dont tous les coefficiens sont divisibles par un même 

 nombre impair. Ces diviseurs , qu'on auroit pu omettre sans in- 

 convénient , ne sont jamais de la première espèce. En effet, soit 

 A = py" + 2 qj z-i-rz" un de ces diviseurs , et 9 un nombre premier 

 qui divise tous ses coefficiens j de sorte que pr — q* ou csoit divi- 

 sible par S" 5 soit en même temps , /V^v^ + g^v^h^ + ^*aV la valeur 

 de c correspondante à Pune des formes trinaires de ce diviseur 

 supposé de première espèce. On aprouvé, n*'. 2/4, que fi^'^+g"^'^ 

 doit être compris dans le diviseur a , et comme tout nombre con- 

 tenu dans la fonction a est divisible par 9 , il faudra que /^/^*+jg'^^* 

 soit divisible par &\ Mais le nombre total vY/V+5-">^"y) + i^'^V est 

 divisible par ô""} donc la partie A^'aV sera divisible aussi par ô*. On 

 prouvera de même que /^V^^ et g^v''^" sont divisibles chacun par ô^ j 

 donc les trois termes composant la valeur de c ont un commun 

 facteur Ô\ Donc le diviseur a ne sauroit appartenir à la i^"^^ espèce. 



(3io) Le MME. Si on a à-la fois p<v/yc , et q<7P, le divi- 

 seur quadratique py'^ + s qyz-f-rz'' ne pourra se réduire à une ex- 

 pression plus simple. 



Car la réduction ne seroit possible qu'autant qu'on auroit r< iq'y 

 or en vertu des suppositions faites , on a au contraire r~^ iq. 

 En effet , l'équation /? r — q^=:c donne (r — 2q)p = c-\-q'' — "^pq 



