TROISIÈME PARTIE. , 5^5 



= c — ip'^+îiCp — ^Ç) (^P — "^ÇJi quantité positive dans sjs 

 deux parties , puisqu'on a c^-^p", et /?> 2 ^. Donc r est > 2 ç-j 

 donc le diviseur quadratique proposé est réduit à sa plus simple 

 expression. 



Corollaire. Si on a plusieurs diviseurs quadratiquespj/' 4- 2(/yz ~{- rz', 

 ■py'^-\-iqy z-\-r' z^^ &c. dans lesquels p soit le même, et où l'on 

 aitjD<v/yC, q<i\P') 9'<.^P î &c. , tous ces diviseurs seront 

 essentiellement difiTérens les uns des autres, et ne pourront se 

 réduire à un moindre nombre. 



(3ii) Lemme. Si Von désigne par i le nombre de facteurs pre-^ 

 mierSj impairs et inégaux qui divisent c , tout diviseur quadratique 

 de première espèce de la formule t* + c u", ne pourra avoir plus de 

 o.^~^ formes trinaires , telles que les trois termes de la valeur cor^ 

 respondante de c ne soient pas divisibles par un même quarré. 



Car soitP un nombre premier plus grand que |c% contenu dans 

 ce diviseur , et soit K le nombre de forme trinaire dont ce divi- 

 seur est susceptible ; le nombre P aura donc , comme diviseur de 

 la formule Z' + c w'', informes trinaires , lesquelles seront différentes 

 les unes des autres (n°. 288 ) , puisque P supposé plus grand que -c% 

 est à plus forte raison >> y c. Or chacune de ces valeurs trinaires 

 de P fournit un diviseur trinaire de la formule f' + Pu'', lequel com- 

 prendra nécessairement le nombre c (n°'. 270 et 286) -, et ces divi- 

 seurs seront différens entr'eux , puisque les valeurs trinaires de P 

 sont différentes, et que le même diviseur quadratique de t^-\-Pu'^ 

 ne peut répondre qu'à une seule forme trinaire de P y P étant 

 premier. Donc la formule t^-l-Pu"" aura K diviseurs quadratiques 

 différens , tous renfermant le nombre c , et tous par conséquent 

 de la forme cj''~\-2by z-i-az^'j dans laquelle c est coefficient du 

 premier terme. Mais puisque c est < v/y-P ^ et que dans chacun 

 des X diviseurs cy''~\-'2bjz-{-az\ on est maître de supposer 2b<C,Cy 

 il s'ensuit (n°. 3io) que ces iC diviseurs sont essentiellement diffé- 

 rens les uns des autres. D'un autre côté , il a été démontré (n''. 235) 

 que le nombre des diviseurs quadratiques de la formule f-^-Pu^ 

 dans lesquels c est contenu , ne peut surpasser 2'"'. Donc K , qui 

 est le nombre des formes trinaires du diviseur de première espèce 



