376 THÉORIE DES NOMBRES. 



seur de N ; soit k le nombre de facteurs premiers impairs et iné- 

 gaux qui divisent c , on a déjà appelé i le nombre de semblables 

 facteurs qui divisent N ^ ainsi on aura i — k pour le nombre de 

 facteurs premiers impairs et inégaux qui divisent N sans diviser c. 

 Cela posé , puisque le diviseur proposé cy^'-^-az^ est un diviseur 

 réciproque, il faudra que le nombre iV-soit diviseur de la formule 

 t^-^-cu'j donc le nombre N sera compris de i^~^~' manières dans les 

 diviseurs quadratiques de cette formule. Mais chacun de ces divi- 

 seurs , suivant la loi générale déjà constatée pour toutes les formules 

 qui précèdent r-i-iVz/% doit avoir, puisqu'il est réciproque, i^'^ 

 formes trinaires. Donc le nombre N aura , comme diviseur de la 

 formule f-^cu~^ 2''~'X2'~^~' ou 2'"° formes trinaires. Ces valeurs 

 trinaires qui sont toutes différentes les unes des autres (i), doivent, 

 suivant le théor. VIII , correspondre aux diverses formes trinaires des 

 diviseurs quadratiques de la formule r + iV^/% dans lesquels c est 

 contenu. Or , suivant le n". 262 , cj/^ + az' est le seul diviseur qui 

 puisse contenir c ; donc ce diviseur réunira à lui seul 2'"* formes 

 trinaires , dont chacune répondra à une des 2'-* valeurs trinaires 

 de N. Mais par la nature du diviseur cy + az"", on sait (n°. 279) 

 que la même valeur trinaire de N correspond à deux formes tri- 

 naires du diviseur, excepté le cas de c= 1 et celui de c=2 j 

 donc le diviseur cj''-{-az'', aupû nécessairement 2*~''x 2 ou 2'~^ 

 formes trinaires , conformément à Fénoncé du théorème. 



Remarçue. L'exception qui semble avoir lieu lorsque c = 1 ou 

 c= 2 , vient de ce que dans ces deux cas particuliers , le nombre 

 désigné par 2^~* se rédjiit à 2"' ou 7 j fraction à la place de laquelle 

 on doit prendre l'unité , ainsi que nous en avons déjà prévenu 

 (n°. 191)' ^^ reste, bien loin que ces cas fassent exception à la 

 yègle générale , ils en sont au contraire une confirmation très- 

 satisfaisante. Car 1°. si l'on a c=i , le diviseur ^-[•az'- ou j'+N'z^, 

 étant supposé un diviseur réciproque de la formule f' + Nu^, il 

 faudra que iVsoit diviseur de if' + ï j donc tous les facteurs premiers 



( 1 ) Il ne peut y avoir d'exception (n°. 292) que dans le cas où on auroit 

 e2r=ç=-j- jY,|*z=9''4'«'^4% ™='^s alorç on aurpit €"^0, ce qui est contre la 

 supposition. 



impairs 



