^78 THÉORIE DES NOMBRES. 



conséquent résulter aussi des diverses formes trinaires dont est 

 susceptible le diviseur 2Ôj/'-{-2 ^j^z + az', le seul qui contienne 

 o.b parmi les diviseurs quadratiques de la formule i''-\-Nu^'^ d'ailleurs 

 par la nature du diviseur ihy''-\-ibyz-\-az'^{vL^, 279) la même 

 valeur trinaire de N répond à deux formes trinaires du diviseur. 

 Donc ce diviseur aura en tout 2'"' formes trinaires , conformément 

 à la loi générale. 



Remarque I. La démonstration qu'on vient de donner de ce 

 second cas , ne suppose autre chose que la condition ordinaire a^b; 

 elle est donc aussi applicable au cas où le diviseur proposé seroit 

 oy''-]rib'y z-^-az"" ^ car celui-ci peut se mettre sous la forme 

 ay''-{- (la — 2b)yz-\-(2a — ib)z^^ laquelle rentre dans le cas 

 qu'on vient d'examiner. 



Remarque II. La démonstration précédente paroît encore pré- 

 senter une sorte d'exception lorsque ^= 1 , ou lorsque le diviseur 

 proposé est nj^-^-'ij z-\-az''. Mais comme alors le nombre iV^ doit 

 être diviseur de i^'' + 2, il faudra que ce nombre soit 2'""* fois de 

 la forme /?" + 2 5'° 5 soit une de ces valeurs N =^ f -{- 2 g^ = 1 a — 1 , 

 on aura a = îr/'+ 1 j+e^% ^liy"" -Viy z-\- a z"— (y -V^Çf-k- "i^) zf -V 

 [y — Hf—^)zY+g^z''^ donc le diviseur proposé aura encore 2'~* 

 formes trinaires. 



IIP Cas. Le plus petit coefficient c du diviseur cy* + 2byz + az* 

 est supposé premier ou double d'un premier. 



(3i5) Si le nombre c ou ~c étoit diviseur de iV, ce cas rentre- 

 roit dans l'un ou l'autre des deux précédens , ainsi nous pourrons 

 supposer que N n'est divisible ni par c ni par ^c. Cela posé , puis- 

 que le diviseur cy^ + i byz-i-az" est réciproque , il faudra que N 

 soit diviseur de r + cw*, et par conséquent que iV soit contenu 2'~* 

 fois dans les diviseurs quadratiques de la formule ^' + cz/". Mais 

 ces diviseurs dans lesquels N est contenu devant être réciproques , 

 ils seront tous de première espèce , et auront chacun une forme 

 trinaire , puisque la proposition générale a été vérifiée pour toutes 

 les formules qui précèdent f^-Nu""; donc le nombre iV, comme 

 diviseur de ^^-f cw% aura 2^"' formes trinaires , lesquelles seront 

 dijïerentes entr'elles , sauf le cas où l'on auroit c' = ?' + iV4\ 



