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Mais c^ ét,ant plus petit que |iV, si ^exception a lieu , il faudra 

 qu'on ait 4= ï et c*=(p*-f-iV. Dans ce cas particulier, cy'' + 7(pyz-{-cz'' 

 seroit aussi un diviseur quadratique de la formule r + ^"% et ce 

 diviseur contiendroit , comme on voit, le nombre c ; mais le nom- 

 bre c premier , ou double d'un premier , ne sauroit appartenir à 

 deux diviseurs quadratiques difFérens. Il faudra donc que le diviseuf 

 proposé cy'^-^z bjz + az'' coincide avec le diviseur cy* + 2?j'z + c2*. 

 Or celui-ci pouvant se mettre sous la forme cj^' + Cac — 2<f>)y z-^- 

 (1 c — 2 <(>) z*, laquelle rentre dans le deuxième cas , il s'ensuit que le 

 nombre des formes trinaires du diviseur proposé sera égal à 2'"'. Il 

 ne reste par conséquent à examiner que le cas principal dans lequel 

 les 2'~' valeurs trinaires de N sont différentes les unes des autres. 

 Alors chacune de ces valeurs devant répondre à une forme tri- 

 naire du diviseur cy'--^- ^hy z-\-a z"" ^ il faudra que celui-ci ait 

 encore 2'"' formes trinaires , conformément à l'énoncé du théorème. 



IV* Cas. On suppose que le diviseur proposé contient un nombre P 

 premier ou double d'un premier y et moindre que N. 



(5 16) La démonstration sera la même que dans le cas précédent , 

 parce qu'on peut toujours , par une transformation , faire en sorte 

 que le premier coefficient c du diviseur proposé cy^'{--iby z-\-az* 

 soit égal au nombre P , ainsi on pourra encore supposer que c est 

 premier ou double d'en premier; mais au lieu d'avoir c <C\/ ^N y 

 on aura seulement c<.iNr; et il reste à examiner quels peuvent 

 être les cas d'exception contenus dans l'équation c*= ?>' -f- iV^I-'. 



Soit d'abord 4. impair, et en général 4. = *^? * et 6" étant deux 

 facteurs indéterminés ; soit en même temps iV = ^ 5 , ^ et B 

 étant de semblables facteurs, l'équation c"" — (p'' = iV^-* ne pourra 

 se décomposer que de cette manière : 



c -J- ^ = _^ a,* 

 c — <p = B£% 



d'où résulte s c = ^ «.* + J5 ^ * ; car toute autre décomposition ren- 

 droit c divisible par un facteur impair de 4 , ce qui ne peut s'ac- 

 corder avec la supposition que c est premier ou double d'un pre- 

 mier. Maintenant puisque N = ^B, on voit que ^y^~{-Bz* est 



Bbb 2 



