58o THÉORIE DES NOMBRES. 



un diviseur quadratique de la formule t^-l-Nu" ^ ce diviseur con- 

 tient 2 c , puisqu'on vient de trouver 2 c = ^ «.'' + ■5 ^%* donc c doit 

 être contenu dans le diviseur conjugué de ^j''-\-Bz'' : or j'observe 

 que les nombres ^ et B ne peuvent être qu'impairs d'après l'équa- 

 tion 2c = ^ oi^ + BC^ j car si ^ , par exemple , étoit pair , il fau- 

 droit que B le fût , et ainsi -^i? ou iVseroit divisible par 4 , ce qui 

 ne peut jamais avoir lieu. Soit donc ^^B et ^-r5 = 2C,le divi- 

 seur ^^^^Bz" étant le même que (A-\-B)y^-\-iByz\-Bz''^ ou 

 o.Cy'^-\-'}.Byz-\-Bz'^^ son conjugué sera Cy"^ Ari By z-\- iB z''-, 

 de sorte que le nombre c doit être compris dans la formule 

 C j" + 1 By z-\-iB z"". Mais le nombre c , qui est premier ou double 

 d'un premier , ne peut pas être contenu dans deux diviseurs qua- 

 dratiques difFérens ; donc le diviseur proposé cy'^-\-'^hy z-\-az''^ 

 lorsqu'il aura été réduit à l'expression la plus simple , sera identique 

 avec Cy'-^iBy z-\-Q.B z". Et puisque celui-ci est compris dans 

 le deuxième cas, il s'ensuit que le diviseur proposé cy'^ ^-ibyz-^az"^ 

 aura 2'"' formes trinaires , conformément à la loi générale. 



En second lieu , soit 4 pair, si l'on fait \=^ia.Q et N^=AB^ 

 l'équation c' — (p^ = iV"4'' ne pourra se décomposer que de l'une 

 de ces deux manières : 



La première combinaison donne ic-=Act'--\-^^BQ''y et il faudra , 

 dans ce cas , que l'un des nombres u4^ a. soit pair. Soit 1°. ^=2 C, 

 et on aura c= CaJ'-Vi jBC% d'où l'on voit que le nombre c est com- 

 pris dans le diviseur quadratique C y"'- -\- n B z" ^ donc le diviseur 

 proposé doit être identique avec Cj/'' + 2Z?^%' mais celui-ci rentre 

 dans le premier cas général (n°. 3i3), puisqu'on a 2BC=iV; 

 donc le diviseur proposé aura encore , dans ce cas particulier, 2'"' 

 formes trinaires. Soit 2°. * = 27-, on aura c =-iu4y' -Y iBC"" ; 

 de sorte que le nombre \ c est compris dans le diviseur quadra- 

 tique Ay"^ -^-Bz"^ donc le nombre c sera compris dans son conjugué. 

 Or si l'un des deux nombres A e\. B est pair , par exemple ^, 

 le diviseur conjugué de ■Ay''-\- Bz^ sera ^Ay'' + iBz'' , ce qui 

 rentre dans le Cas premier 3 et si les deux nombres yî ei B sont 



