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impairs, le diviseur conjugué de ^j^ + B z'' seTa.j(^-^B)y'-'-[' 

 "2 B y z-{-2B z""^ ce qui rentre dans le deuxième Cas. 



Enfin la seconde combinaison donnant 2 c = 2 ^a^4-2i? é"*, ou 

 c zzz y4 a."^ -\- B ^'^ ^ le nombre c est compris immédiatement dans le 

 diviseur quadratique ud y'' -\- B z^ ^ ce qui retombe dans le Cas 1". 



Donc pourvu que le diviseur proposé cj^^+2 hy z-\-az'^ contienne 

 un seul nombre premier ou double d'un premier , moindre que N^ 

 ce diviseur aura nécessairement 2'"' formes trinaires , propres à la 

 première espèce. 



Remarque, Ce quatrième Cas est tellement étendu , qu'il n'y 

 a aucune formule des Tables qui n'j'- soit comprise; et les excep- 

 tions paroissant devoir se présenter le plus facilement dans les petits 

 nombres , il est probable qu'il embrasse de même toutes les for- 

 mules ultérieures. 



y* Cas. On sujypose que le dipiseur proposé c y''-}- 2 b yz -|- az* 

 contient un nombre c < N , dont tous les facteurs premiers , à 

 V exception d^un seul , sont diviseurs de N et inégaux entr'eux. 



(317) Soit alors c = ^c!, N=^N\ S étant le plus grand divi- 

 seur commun entre c et N ^ et c étant un nombre premier ou 

 double de premier. Soit k le nombre de facteurs premiers , impairs 

 qui divisent c : on a déjà appelé i le nombre de facteurs premiers 

 et inégaux qui divisent iV"; donc i — k-'r i sera le nombre de fac- 

 teurs premiers qui divisent iV" sans diviser c. Cela posé ,1e nombre iV 

 devant être diviseur de t'' + cu% sera compris de 2'"* manières diffé- 

 rentes dans les diviseurs quadratiques de cette formule 5 de plus , 

 comme chaque diviseur réciproque de la formule t^~\-c u^ doit avoir 

 2'*"' formes trinaires , il s'ensuit que le nombre iV, comme divi- 

 seur de r-f cz/% aura 2*~'.2^~* ou '2'~' valeurs trinaires. Or cha- 

 cune de ces valeurs doit correspondre à une forme trinaire de l'un 

 des diviseurs quadratiques de la formule t^ + Nu"" dans lesquels c 

 est contenu ; et comme dans l'hypothèse de ce cinquième Cas , 

 le diviseur proposé cy^ + -2 ùyz-{-az^ est le seul qui puisse conte- 

 nir c , il s'ensuit que ce diviseur aura nécessairement 2^~' formes 

 trinaires. 



