382 THÉORIE DES NOMBRES. 



Remarque. Ce Cas , qui est encore plus général que les précé- 

 dens, n^est sujet à aucune exception. En effet, si on avoit 

 c" = <p'' + iV'4.% comme on suppose que ô qui divise c et iV^n'a que 

 des facteurs simples , il faudra que ?» soit divisible par 9 , et alors 

 NV' doit l'être par â^ Mais on fera voir dans une note du Cas 

 suivant , que N ne peut être divisible par le quarié a'' , si c est 

 divisible seulement par a. j donc iV4^ ne peut être divisible par 9*, 

 à moins que 4- ne soit divisible par ô. Faisant donc ip = ô ?>', 4 r= 94'» 

 on aura c'* — (p'*" = iV-^'". Dans cette équation c est un nombre 

 premier ou le double d'un nombre premier j ainsi on démontrera , 

 comme dans le Cas précédent , que c' appartient soit au diviseur 

 quadratique u^y''-\-Bz' ^ soit à son conjugué ^(Ay-'^Bz'). Or 

 ayant ABz=N = N'^ ., si Ton fait N'=PQ,B = yS', on pourra 

 supposer A = Py^ B=Q^, et on aura c' = Pyy''+Q S'z", ou 

 c =iCPyy^ + QS-z') i donc y S^c' = P S'y^'y^ ■{■ Qy r z\ ou 

 y S'a' =:^(P ^yy-{-QyS'''z''). Dc-là on voit que c est compris soit 

 dans le diviseur quadratique P S'y^-^-Q y z''^ soit dans son conju- 

 gué représenté par i(P^y'-^Qyz^). Mais comme c ne peut être 

 compris que dans un seul diviseur quadratique , il s'ensuit que si 

 on avoit c' = ?*4-iV4-% le diviseur proposé rentreroit dans les Cas I 

 "ou II , et ainsi il auroit toujours 2'"' formes quadratiques, con- 

 formément à l'énoncé du. théorème. 



VP Cas. On suppose que le diviseur proposé cy* + 2byz + az* 

 contient un nombre c moindre que N , lequel na aucun facteur 

 quarré commun avec N. 



(5i8) Pour ne pas revenir inutilement sur les Cas déjà examinés, 

 nous supposerons que c ou y<^ n'est ni un nombre premier , ni un 

 diviseur de iV, ni le produit des deux ; il y aura donc plusieurs 

 diviseurs quadratiques de la formule t'^~\-Nu'' qui contiendront c. 

 Soit k le nombre de facteurs premiers impairs et inégaux qui divi- 

 sent c, soit e le nombre de ces facteurs qui sont communs entre N' 

 et c , et par conséquent l: — ^ le nombre des facteurs premiers 

 qui divisent c sans diviser iV (i) , la formule 2*~*~^ représentera 



(i) Lorsque c ett compris dans un diviseur quadratique de la formule t'-j-Au*, 



