m THÉORIE DES NOMBRES. 



de formes Innaires , il faudroU qu'un ou plusieurs d'entr'eux eussent 

 plus de 2'~' de ces formes. Or on a prouvé (n°. 3ii) qu'aucun 

 diviseur quadratique cj''-\'2 by z-j-a z'' ne peut avoir plus de 2'"' 

 formes trinaires , propres à la première espèce -, donc enfin le 

 (Ih'iseur proposé cj'^i-2bjz-}-az'' et tous ceux qui contiennent 

 le même nombre c, auront chacun 2'~* formes trinaires. On voit de 

 plus quetous ces diviseursdoivenlêtre différenslesunsdesautres(i). 



( 1 ) Pour rendre ces raisonnemens plus sensibles par un exemple , soit 

 ai y'^ -\- a6 y z -\- 1 j ^ z'^ un diviseur proposé de la formule l^-f-3485u', lequel 

 ,.est réciproque , parce qu'il est facile de s'assurer que 3485 ou 5 . 1 7 . 4i est diviseur 

 de f*+2i u^. On aura , dans ce cas , N= 3485 , c=2i , et parce que N est 

 composé du produit de trois facteurs dont aucun ne divise c, on aura î = 3, e = o; 

 de même puisque c est le produit de deux facteurs 3.7, on aura h := 2. Or on. 

 voit d'abord que N doit être contenu de 2^r^ ou 4 manières dans les diviseurs 

 quadratiques de la formule f'^-Paiu'', ou seulement dans le diviseur 5y^-\-6yz-{-6z'^, 

 parce que celui-ci est seul de son espèce ; d'ailleurs ce dernier diviseur se dé- 

 compose de :i^—^ ou 2 manières en trois quarrcs ; donc le nombre N , comme 

 diviseur jde la formule t'^-^-cu'^, aura 4.2 ou 8 formes trinaires différentes, les- 

 quelles sont en effet , 



5i*+28*-l-io^ , 53^-1-24'^ -1- 10" , 51^+20^+22'' , Si'^f 27"4-4o» , 

 i8' + 56»4- 5^ , 34''-f48»+ 5^^ , 42"-|-4o^ + ii'» , i3»-l-54*+2o'. 

 Il faudra donc que les diverses formes trinaires de tous les diviseurs de la formule 

 t*4-3485u^; dans lesquels c est contenu, répondent à ces 8 formes trinaires de N. 

 Les diviseurs dont il s'agit, au nombre de 2*~^~* = 2, sont le diviseur proposé 

 iiiy'-j- 2672 +- 174 z'% et un autre a', y^^ uy z -\- 166 z^ ; or chacun d'eux ne 

 peut avoir plus de 2'-"i ou 4 formes trinaires ; donc les 8 formes trinaires dont 

 il s'agit, réparties entre eux deux , en donneront nécessairement 4 à chacun. En 

 effet, on trouve ces quatre formes et les valeurs correspondantes de'JV, comm.e 

 il suit : 



4o»+42^-|-it» ■\ ^ (4y+62)*+(2y— 7z)' + (>'— gz)' 



5fi*+i8^-+ 5^ r ^ ^ __S (4^— 6z)'»-f (2j+iiz)^ + (y+32)* 



4o" + 34= + 27'- ( '"'^'"^^^"''^'^^^'^ j C4j-2z)«+(2y+9z)-+(y-9z)'' 



5i " + 28^-1-10^ \ / (4y+,z)»+(2y— 2z)'»+(y-fi?z)» 



53^4-2-^.*+ 10= f _ S (4j.— z)'--|-(2y+2z)"-i-(y-|-j3z)* 



5i=^.f20' + 22" ( ^'•y' + ^^^'+'7'*^'-)(4y+7z)--f(2y-2z) =+(y-Mz)" 

 54» + 20-4-i5> ) ( (4j+7z;=+C2y— joz)- + 0'-f 5z)» 



La démonstration eût été plus simple pour le diviseur 2iy'-+2}'z j-i66z' en par- 



