TROISIÈME PARTIE. 385 



(5i9) Ce VP Cas est d'une très-grande généralité, puisqu'il 

 suppose seulement que le nombre c contenu dans le diviseur qua- 

 dratique proposé est moindre que iV", et n'a aucun facteur quarré 

 commun avec N. Mais pour mieux juger de cette généralité, il 

 est nécessaire de déterminer d'une manière précise combien il 

 peut y avoir de semblables nombres contenus dans le diviseur qua- 

 dratique proposé cj''-\-'ibj Z'^-az"" =:^^. 



Ayant donné à z une valeur déterminée z-=k ^ si l'on veut avoir 

 toutes les valeurs àe y qui rendent a moindre que iV", il faudra 

 résoudre l'équation N ^^^cj^ ■\- 2b y k'\- ak^ ^ laquelle donne les 

 limites de y , savoir ; 



^bk — )/(cN—k'N) —bh-\-^y(cN—h^N) 



y = , y- ^ . 



La différence de ces deux limites . \/(c — h'') exprime donc 



le nombre de valeurs qu'on peut donner à y , tandis qu'on fait 

 z^=k ^ elle apprend en même temps que la plus grande valeur qu'on 

 puisse donner à z est \/c ou l'entier compris dans \/ c. De-là on 

 voit que le nombre de tous les diviseurs moindres que N compris 

 dans le diviseur quadratique A sera donné par la formule 



cette suite devant être continuée tant que les termes en sont réels. 

 J'observe maintenant que si on décrit un cercle qui ait pour équa- 

 tion y'^-=.B^ — x"^^ et que R soit un nombre un peu grand, l'aire 

 du quart de ce cercle sera à très-peu près égale à la somme de la 

 suite i?+v/r^'— 0+\/r^' — ^J+Zr^' — 9;+ &c. continuée 

 tant que les termes sont réels. Donc comme on sait que l'aire 

 du quart de cercle ^^^^îri?'' , t étant le rapport de la circonfé- 

 rence au diamètre , il faut que la somme de cette dernière suite 



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soit T-S% valeur d'autant plus approchée , que K sera plus grand. 

 Cela poséj si on met simplement c à la place de B^, on aura 



îiculier , si l'on eût considéré iV coirme diviseur de t^-\-\^^ u'^, car alors on seroit 

 retombé dans le IV «= Cas, 



Ccc 



