586 THÉORIE DES NOMBRES. 



_X:= — ^- . - c-=.-\/N j résultat remarquable , en ce qu il ne 



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dépend plus des coefficiens a , Z> , c , et qu'il est le même pour 

 tous les diviseurs quadratiques d'une même formule i^ + Nu" (i). 



La valeur de X qu'on vient de trouver , suppose qu'on a pris 

 indifféremment pour y el z toutes les valeurs qui peuvent rendre 

 ■cy + 2bjz + az^ moindre que N, mais il faut se rappeler que 

 les seuls résultats admissibles sont ceux où j et z n'ont pas de 

 commun diviseur. Or les cas où jk et ^ sont tous deux pairs for- 

 ment le quart de tous les cas possibles ; ceux où y et z sont à- la- 

 fois divisibles par 3 , forment la neuvième partie de la totalité , 

 et ainsi de suite. Donc en général le nombre trouvé X doit se 

 réduire à X(i—-J (i—^ (^—tt) (i — j^) &c. , les dénomina- 

 teurs de ces fractions étant les quarrés des nombres premiers suc- 

 cessifs. Maison saitqueleproduit(^i— y (fi — ^)Ci — tt)(^ — 7l) ^^- 



continué à l'infini = — ( Voyez Ylntroduct. in Anal. d'Euler , 



11°. 277 ). Donc si on appelle Y le nombre des diviseurs particuliers , 

 moindres que iV, compris dans le diviseur quadratique proposé 



cv^^ihy z^az\ on aura 7"= -\/-ZV^. — = -/iV.Formuletrès- 



simple , et qui dans les applications donne des résultats fort proches 

 de la vérité. 



(32o) Soit maintenant a. un nombre premier dont le quarré est 

 diviseur de iV, en sorte qu'on ait iV=«^iV'. Si l'on suppose c 

 divisible par «, il faudra que h soit aussi divisible par *, puis- 

 qu'on a ac—'b'^N ; mais les deux termes b"" et N étant alors 

 divisibles par ct% on voit que ac doit être aussi divisible par a^; 

 donc comme on ne peut supposer a divisible par a , puisqu'alors 



(1) Ce résultat devroit être réduit à moitié , si la formule proposée étoit de 

 l'une des formes cy^-\-az\ cy''-{- ab y z+ h z\ cy^+ ab y ^ + c z\ parce qn'a- 

 lors le même nombre résulte de deux suppositions différentes dans les valeurs 

 de y et de z. On retrouve donc ici les mêmes exceptions auxquelles ces formules 

 donnent lieu dans d'autres occasions. 



