388 THÉORIE DES NOMBRES. 



3 \/31 Cl* 

 ou bien faisant N^^M.ct'CW &c., on aura Z= — i . . 



77 a.~\- l 



, &c. D'où l'on volt que 2 est un nombre qui au^- 



C-{- 1 >+ 1 



mente en même temps que iV", et qui aiira toujours un rapport 



notable avec y N. 



Par exemple , si on propose le diviseur quadratique 1 8gy* + 5oyz 

 '4-50 2" appartenant à la formule /"-f 9225^", et qu'on veuille savoir 

 combien dans ce diviseur il y a de nombres plus petits que 9225, 

 et qui n'ont aucun facteur quarré commun avec 9226 , on fera 

 iV"=9225 =:5\5''.4i , ce qui donnera ct^:^, C=: 5, M= ^1 ; d'où 



O 1/ 4-1 O ^r 



Ton conclura le nombre cherché Z = . - . -77- = ÔTJ : et 



'zsr 4 o 



ce résultat est très-près de la vérité ; car on trouve que le diviseur 



proposé contient les 59 nombres suivans qui ont les conditions 



mentionnées : 



209, 26g, 32g, 449, 746 j 866, 869, 1109, i^%î *^^9; 



1661 , 1706, 1721 , i84i , 2081 ; 2i4i , 23o6, 2429, 2001 , 2786;. 



{2849) , 2861 , 2954, 3i49 , 31945 34oi , 3521 , (3626), 3629 , 



3674; (4i8i), 4634, 478^, 4874, 48895 5489, (5621), 58oi , 



5909, 6ii6j 63i4, 6569, 6674, 6761, 70345 (7154), 7466, 



7601, 7704, 79945 (8249), 8426, 8741, (8954), 8981J 9029, 



9o4i, 9101 , 9221. 



(32i) On voit maintenant que le VP Cas renferme la démons- 

 tration générale de la proposition , puisqu'il y aura toujours un 

 nombre assez considérable de valeurs de c qui pourront servir de 

 base à la démonstration. -Or il suffit qu'il y ait parmi ces valeurs 

 un diviseur de iV^ ou 2 iV^ ( Cas I et II ) , ou un nombre premier ou 

 double d'un premier (Cas IV), ou le produit d'un tel nombre 

 par un diviseur de N (Cas V) , ou enfin un nombre quelconque 

 qui ne satisfasse pas à l'équation c'' = (p' -|- iNT^'. H pourroit cepen- 

 dant arriver que tous les nombres c compris dans le diviseur pro- 

 posé , satisfissent à l'équation c" r= (p" -f iV^4;% mais alors (n°. 3i6) 

 ce diviseur seroit de la forme cj/^ + a z% ou^Ccy + az") , et ainsi 

 il retomberoit dans les Cas I ou II , qui sont les plus simples de tous. 



