592 THÉORIE DES NOMBRES. 



fois qu'un nombre ^ est contenu de deux manières différentes 

 dans cette formule, il faut, qu'en faisant 7z = aé', m-=yS'^ on 

 ait ^^=(^yB'-{-€S^C') (aS'D'^-SyE'). Or la quantité /-f^ 

 étant en général plus grande que is/fg, on aura a>^^ + C<rC* 

 '^■2BC\/ ctSyS^ ; par la même raison , l'autre facteur sera 

 "^ 1 D E\/ etCyS", et ainsi on aura ^^BCDE, oiCyS^ ^ et à plus 

 forte raison ^^ etCyS^ ou ^^ N (car le diviseur quadratique 

 iny'^-\-nz^ étant supposé appartenir à la formule V'-rNu' ^ on a 

 ctCy^=zmnr=. N) . Donc si le nombre ^ est < iV", il ne pourra être 

 contenu de deux manières différentes dans la formule mj^'-i-nz''. 



(324) Théorème XVII. Toute formule f' + Nu", comprise dans 

 les Tables J^ III , IX, X et XI ^ aura nécessairement un ou 

 plusieurs diçiseurs quadratiques de première espèce. 



Car suivant le Théorème XI V" , la formule f^-^Nu" aura toujours 

 au moins un diviseur quadratique réciproque ; ce diviseur , d'après 

 le Théorème XVI, doit être de la première espèce ; donc la formule 

 f^-^-Nu"^ aura au moins un diviseur de première espèce. 



Kemarque. On voit par les Théorèmes XV , XVI et XVII , que 

 les diviseurs réciproques sont absolument identiques avec ceux 

 de première espèce , et qu'il en existe toujours au moins un dans 

 toute formule t^-^Nu'' de nature à entrer dans les Tables. Il est 

 bon en outre d'observer que la définition des diviseurs réciproques 

 donnée n°. 5o4 , est susceptible d'une plus grande latitude j car il 

 résulte de la démonstration du Théorème XVI , et sur-tout du 

 Cas VI de ce Théorème , qu'un diviseur quadratique de la formule 

 f-^-Nu"^ sera réciproque et de première espèce, s'il contient ain 

 seul nombre c , tel que N divise f-^-cu''^ et n'ait en même temps 

 aucun facteur quarré commun avec c. D'où l'on voit que les fac- 

 teurs communs non quarrés entre c et N, n'empêchent pas le divi- 

 seur dont il s'agit d'être réciproque et de première espèce. 



(325 ) Théorème XVIII. Si N est premier ou double d'un pre^ 

 mier y tout diviseur quadratique de la formule t^' + Nu'', sera un 

 diviseur de première espèce. 



Car suivant le Théorème XIII, tout diviseur quadratique de la 



formule 



