5i)8 THEORIE DES NOMBRES, 



îl faut excepter seulement le cas où N est multiple de c , car alors il 

 est évident que c divisera toujours i* + Nu\ 



(35o) Théorème XX. Tout diviseur quadratique non réci- 

 proque ne sauroit être trijiaire , à moins qu'il ne se rapporte à 

 La troisième espèce. 



Car un diviseur quadratique non réciproque ne peut être de la 

 première espèce , suivant le Théorème XVj il ne peut être non plus 

 de la seconde espèce, s^il est décomposable en trois quarrés j 

 puisque les diviseurs de cette espèce ont pour caractère de n'être 

 point décomposables ; donc les diviseurs , qui sont à-la-fois non 

 réciproques et trinaires , ne peuvent être relatifs qu'à la troisième 

 espèce. Ces diviseurs sont réciproques par rapport aux nombres 

 compris qui ont un facteur quarré commun avec les trois termes 

 de la valeur correspondante de cj ils sont non réciproques par 

 rapport à tous les autres nombres. 



( 53 1 ) Théorème XXI. Tout nombre impair , excepté seule- 

 jnent les nombres ^n-\-j , est la somme de trois quarrés. 



Cette proposition est maintenant un corollaire très-simple de la 

 théorie précédente. Car tout nombre impair c qui n'est pas de la 

 forme 8/2 -j- 7 , sera soit de la forme 4^2+ 1 ^ soit de la forme 8/z + 3j 

 la formule t''-\-cu^ se rencontrera donc, soit dans la Table VIII, 

 soit dans la Table IX. Mais il a été démontré (Théorème XIV) 

 que toute formule prise dans ces Tables doit avoir au moins un 

 diviseur quadratique réciproque , et ensuite par le Théorème XVI 

 on a fait voir que ce diviseur est de première espèce , et qu'ainsi il 

 y a au moins une valeur correspondante de c , exprimée par la 

 somme de trois quarrés. Donc tout nombre impair de la forme 

 4;z4- 1 , ou de la forme 8/z-f-5 , est la somme de trois quarrés. 



Il résulte en même temps de la théorie précédente , que quand 

 même le nombre c serait divisible -par un quarré j on pourra tou- 

 jours supposer cjue les trois quarrés composant la valeur de c ne 

 sont pas divisibles par un même nombre. 



C'est ainsi qu'on a 8i = 8^ + 4^+1% 226= i4"4-5^ + 2% et ainsi 

 des autres. D'où l'on voit que chaque nombre in-\-\ ou 8^ + 3, 



