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a tout au moins une valeur trinaire qui lui est propre , et qui est 

 indépendante de celles des nombres inférieurs. 



Corollaire. De ce que tout nombre 8/2 + 3 est de la forme 

 j)"" -\- f -^r"^^ il s'ensuit (n°. i55 ) que tout nombre entier est la somme 

 de trois triangulaires , ce qui est le fameux théorème de Fermât 

 dont nous avons déjà parlé. 



(352) Théorème XXII. Tout nombre double d^un impair est la 

 somme de trois quarrés. 



C est encore une conséquence immédiate des Théorèmes XIV et 

 XVI appliqués aux Tables X et XI. Ya on voit de plus par cette 

 théorie , que quand même le nombre dont il s'agit seroit divisible 

 par un quarré , on pourra toujours en avoir une valeur exprimée 

 par trois quarrés qui n'auront pas de commun diviseur. 



Corollaire I. Un nombre quelconque double d'un impair, étant 

 désigné par 4o-}-2, on pourra toujours satisfaire à l'équation 

 4a-f 2 =a7^-}-j'''-fz\ Or par la forme du premier membre , on voit 

 que deux des nombres x ^ j , z doivent être impairs et le troisième 

 pair, on peut donc faire x=p-{-q ^ y=p — q ^ z = 2r, et on aura 

 2<2+ 1 =p*-|-^^-{-2 r"*; donc tout Jiombre impair est de la forme 

 pHq'+2r\ 



Cette proposition avoit été avancée par Fermât , comme étant 

 particulière aux nombres premiers Sn-\-j', mais on voit qu'elle 

 s étend généralement à tous les nombres impairs ; et on sait de 

 plus , par la théorie précédente , que dans le cas où le nombre 

 proposé ia-\-i seroit divisible par un quarré , il est toujours possible 

 de trouver pour ce nombre une forme j[7^-f^^-|-2 /'", telle que ses 

 trois termes ne soient pas divisibles par un même facteur 5 c'est-à- 

 dire qu'en général on peut satisfaire à l'équation (2 b -\- \)k'' = 

 ^* +J^' + 2 z% sans supposer que x , y , z aient on diviseur commun. 



Corollaire II. Un nombre entier quelconque peut toujours être 

 représenté par l'une des formules (2 a-\-\)i^'\ (i a-\-'2) ■i^'' -^ or s'il 

 appartient à la première , il sera, suivant ce qu'on vient de démon- 

 trer , de la forme /?' + 5'^ + 2/'% et s'il appartient à la seconde for- 

 mule , il sera de la forme p^ -\- q^ -\- r'' . Donc tout nombre entier _, ou 

 au moins son double y est la somme de trois quarrés. 



