4oo T H É O R î E D E S N O M B R E S. 



(3? 5) TiiÉoiiÈ.ME XXllI. Smt N un nombre quelconque de tune 

 des formes 411+1, 8n-|-3, 4^ + 2, lesquelles comprennent tous 

 les nombres impairs et doubles d'un impair ^ excepté seulement 

 les nombres Sn + y 5 si on désigne par i le nombre de facteurs pre- 

 miers impairs et inégaux qui divisent N , je dis que le nombre N 

 aura au moins 2'"* formes trinaires différentes. 



Car dans ces différens cas , la formule f^-^-Nu* appartiendra à 

 l'une des Tables VIII, IX, X , XI : or on a prouvé que toute for- 

 mule comprise dans ces Tables doit avoir au moins un diviseur 

 quadratique de première espèce. On a prouvé en même temps que 

 ce diviseur se décompose en 2'"' formes trinaires différentes , dont 

 chacune répond à une valeur trinaire de iV , et quant à ces valeurs, 

 il ne peut arriver que deux cas 5 ou elles sont toutes inégales entre 

 elles, et alors leur nombre est 2^"'^ ou elles sont égales deux à 

 deux (ce qui a lieu lorsque le diviseur est de Pune des formes 

 cjK^ + ^-z', rjK' + 2^j/z + 2 ^z*, cy-[-2bjz-\-cz''^ et qu'en même 

 temps le moindre des coefficiens extrêmes n'est ni 1 ni 2) , et alors 

 le nombre des valeurs inégales de iVest 2'"', Donc dans tous les 

 cas le nombre N aura au moins 2'"' formes trinaires de première 

 espèce , ou dont les trois termes ne sont pas divisibles par un même 

 facteur. 



Ainsi le nombre 3.5.7.11,13.17.19, composé de sept facteurs 

 inégaux , et qui , xîomme on le voit aisément , est de forme 8/z + 5^ 

 doit avoir au moins 2^ ou 32 formes trinaires différentes. Il peut 

 aussi en avoir un beaucoup plus grand nombre 5 et c'est c& qu'on 

 jdétermineroit exactement , en cherchant le nombre de diviseurs 

 de première espèce qui conviennent à la formule T-j- iVw% pour cette 

 yaleur particulière de iV. 



De-là on voit qu'il est facile de trouver un nombre qui ait tant 

 de formes trinaires qu'on voudra j problême analogue à celui dg. 

 »"*» 237. 



QUATRIÈME 



