QUATRIEME PARTIE. 



METHODES ET RECHERCHES DIVERSES* 



§. I. Théorèmes sur les puissances des Nombres. 



J_j A méthode dont nous allons donner diverses applications , mé- 

 rite une attention particulière , en ce qu^elle est jusqu'à présent 

 la seule par laquelle on ait pu démontrer certaines propositions 

 négatives sur les puissances des nombres. Le but de cette méthode 

 est de faire voir que si la propriété dont on nie l'existence avoit 

 lieu pour de grands nombres , elle auroit lieu également pour des 

 nombres plus petits. Ce premier point étant établi , la proposition 

 est démontrée , car pour que le contraire eût lieu , il faudroit 

 qu'une suite de nombres entiers décroissans pût être prolongée à 

 l'infini , ce qui implique contradiction. Fermât est le premier qui 

 ait indiqué cette méthode dans une de ses notes sur Diophante , 

 où il prouve que l'aire d'un triangle rectangle en nombres entiers ( i ) 

 ne sauroit être égale à un quarré. Euler en a depuis étendu les 

 applications , et l'a exposée avec beaucoup de clarté dans le Tom. II 

 de ses Élémens d'Algèbre. 



(334) Théorème I. TJaire d*un triangle rectangle en nombres 

 entiers ne sauroit être égale à un quarré. 



Puisqu'on a {a'\b'f = (a^^h-'y\(iab)\ il est clair que les 

 trois côtés d'un triangle rectangle peuvent être représentés par les 

 nombres a'' + 6% a^ — è% lab ; c'est aussi l'expression générale 

 qu'on déduiroit de la résolution directe de l'équation .r^'^j^-fz* 



(i) Trois nombres tels que le quarré du plus grand équivaut à la somme des 

 quarrés des deux autres , sont ce qu'on appelle un triangle rectangle. On peut donner 

 pour exemple les nombres 3/*, 5 ; les nombres 5, i2, i5, et une infinité d'autres. 



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