4o2 THÉORIE DES NOMBRES. 



(n°. 17). Ces trois nombres pourroient de plus être multipliés par 

 un facteur commun S ; mais nous ferons abstraction de ce facteur, 

 qui est inutile pour notre objet , et par la même raison , nous sup- 

 poserons a et b premiers entr'eux. En effet , si les trois côtés d'un 

 triangle sont divisibles par 9 , Faire sera divisible par S^ j donc si 

 cette aire est un quarré , elle le sera encore après avoir été divisée 

 par son facteur ô"". 



Cela posé , appelons ^^ l'aire du triangle dont il s'agit , nous 

 aurons ^= abCa" — b^) ; et comme les facteurs a et ^ sont pre- 

 miers entr'eux , ils le seront également avec a' — b"" 5 donc pour 

 que ^ soit un quarré , il faut que chacun des facteurs « , ^ , a'—b'' 

 en soit un. Soit donc a =^171", b = n% il restera à faire en sorte que 

 d"^ — l)" ou m^ — 71^ soit égal à un quarré. 



Cette quantité m^ — n^ est le produit des deux facteurs m' + 7z% 

 in'' — 7Z* : or m et n sont premiers entr'eux , puisque a et ô le sont. 

 De plus , ils doivent être supposés l'un pair et l'autre impair 5 car 

 s'ils étoient impairs tous deux^ a ei b \q seroient aussi , et ainsi les 

 trois côtés «" + 6% «' — b\iab seroient divisibles par 2 , ce qui est 

 contre la supposition. Donc les facteurs nf \ n"" et m' — tf sont 

 premiers entr'eux 5 et puisque leur produit doit être un quarré , 

 il faudra que chacun d'eux en soit un. 



Faisons en conséquence m''-\-n''=p\ nv^—if — q^ nous aurons 

 rf ■\- q" ^= m% et iJi^-^-q^ =/j\ T^onc si l'aire d'un triangle rectangle 

 est un quarré , on pourra trouver deux quarrés q% n% tels que cha- 

 cune des deux quantités q^ + n% q^ + ^n^ soit égale à un quarré {i). 



(1) Voici le passage de Fermât que nous suivons assez strictement, en ajoutant 

 seulement les développemens nécessaires pour rendre la démonstration plus claire- 

 et plus complète : 



(( Si area trianguli esset quadratus darentur duo quadrato - quadrati quorum 

 » differentia esset quadratus : Unde sequitur dari duo quadrata quorum et summa 

 » et diËferentia esset quadratus. Datur itaque numerus compositus ex quadrato et 

 » dupîo quadrali œqualis quadrato , ea conditione ut quadrati eum componentes 

 » faciant quadratum. Sed si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo 

 >> alterius quadrati, ejus laïus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, 

 )) ut facillime possumus demonstrare. 



» Unde concluditur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rec- 



