Q U A T R I È M E P A R T I E. 4o3 



Vmsqu'ona p^=^c/ + 2 n% il faut (n°. i4i) que 77 soit de la forme 

 /"+2^" : or on satisfait à l'équation c/ + 2 ji' = (f^-i-2 g^)^ en fai- 

 sant ç + n\/—2 = (f-\-g\/—2)% ce qui donne 



n^2fg; 

 et cette solution est d'ailleurs aussi complète qu'on peut le désirer, 

 comme on peut s'en assurer par les formules du n°. 17. Il reste 

 donc à satisfaire à l'équation q^-\-n':= m% dans laquelle substituant 

 les valeurs trouvées pour ç^et «, on aura/^+4^^ = w". 



Cette dernière équation , qui doit être possible si l'aire ^ est 

 un quarré , présente un nouveau triangle rectangle formé avec 

 l'hypothénuse m et les deux cotés f% 2 g' : or Taire de ce triangle 

 étant /^^% et par conséquent égale à un quarré, il s'ensuit que si 

 l'aire ^ du triangle rectangle proposé est égale à un quarré , on 

 pourra , par le moyen de ce triangle , en découvrir un beaucoup 

 plus petit , mais non pas nul , dont l'aire sera pareillement égale à 

 un quarré. 



(335) Pour juger de la petitesse de ce second triangle rectangle en 

 comparaison du premier , il faut exprimer la valeur de ^ en/et g: 

 or on trouve 



D'ailleurs/^— 2^" ne peut être moindre que 1 , et on a toujours 

 (^p ^ig^y > ^pg%P + 4 ^* > 4/'^>-"i donc l'aire ^ est plus grande 



I) tanguli et unum ex quadratis illud componenlibus efficere basera et duplum qua- 

 )) dratum aequari perpendiculo. 



» Illuci itaque Iriangulum reclangulum conficietur a dnobus quadratis quorum 

 55 snmma et ditFerentia erunt quadrali. At isli duo quadrati minores probabuntur 

 » primis quadratis suppositis quorum tam summa quam differentia faciunt quadra- 

 » tum. Ergo si denlur duo quadrata quorum summa et diiFercntia faciunt quadra- 

 » tum , dabitur in integris summa duorum quadratorum ejusdem naturas priore 

 » minor. Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris et semper 

 » in infinilum minores invenienlur numcri in integris idem prœstantes : quod im- 

 » possibile est , quia dalo numéro quovis integro non possunt dari infimti m mte- 

 » gris illo minores », Ed. cit. de Dioph. pag. 33g. 



Eee 2 



