4o4 THÉORIE DES NOMBRES. 



que i28f^g^ ', doncf^g% qui est Faire du second triangle^ étant 



nommée ^', on aura -</'< ^ — -. 



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De-là On voit que s'il existe un triangle rectangle en nombres 

 entiers , dont Faire ^ soit égale à un quarré , il existera en même 



temps un triangle rectangle dont Faire ^'3 plus petite que y — - , 



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sera encore égale à un quarré, et cependant ne sera pas nulle , car 



Fun des nombres /"et g ne peut être nul sans rendre ^ = 0. 



Mais par la même raison , du triangle rectangle dont Faire ^' est 



égale à un quarré , on pourra déduire un troisième triangle dont 



Al 



Faire ^'^, plus petite que y/ — -, sera égale à un quarré , et ainsi 



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à Finfîni. Or il implique contradiction qu'une suite de nombres 

 entiers ^ , .A\ A" ^ &g. , quand même ils ne seroient pas quarrés , 

 soit décroissante et prolongée à l'infini. Donc il n'existe aucun 

 triangle rectangle dont Faire soit égale à un quarré. 



Corollaire. La même démonstration prouve que la formule m!^ — n^ 

 ne peut être un quarré , non plus que la formuley+ + 4^^, excepté 

 seulement dans les cas évidens, Fun de m = n ^ ou 72 = 03 l'autre 

 de jT ou g" = o. 



On peut aussi en conclure que Féquation x^-\-j^ = 2p'^ est im- 

 possible , hors le cas de x=^j^ car de cette équation on tireroît 



p^ — xy"^ = ( j j or on vient de voir que le premier membre 



ne peut être un quarré. 



(336) Théorème IL La somme de deux hiquarrés ne peut être 

 égale à un quarré 3 à moins que l'un deux ne soit nul. 



Soit , s'il est possible , a^-\-h^ ■=^c'' -^ il faudra d'abord qu'on ait 

 a" ^^p"" — 9% b"" ^=^ip q ^ c=p''-\-q'^. J'observe ensuite que <2 et b 

 pouvant être supposés premiers entr'eux, p ei q seront pareille- 

 ment premiers entr^eux , et même ils ne pourront être tous deux 

 impairs 5 car s'ils Fétoient , a et b seroient tous deux pairs. On ne 

 pourra non plus supposer jo pair et q impair , parce qu'alors p'' — ^* 

 seroit de la forme 4/^ — i , laquelle ne peut convenir au quarré a"". 

 Donc il faudra quep soit impair et q pair , et ainsi, pour satisfaire 



