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à Péquation b'^^ipq ^ on prendra p = ?n'^ , q = 2. n" ^ valeurs qui 

 étant substituées dans l'autre équation a''^=p'' — q'' , donneront 

 m^ — i 71^ = 0". 



Cette dernière équation exprimant que le quarré m^ est égal à la 

 somme de deux autres quarrés 4/z^, o^, le seul moyen d'y satisfaire 

 est de prendre m''=f''+g'', 1 tv'= ifg-, a =/'^ — g". Or Féquation 

 n^-=^fg où f et g doivent être premiers entr'eux , donne y=a'', 

 jg-=: ^*, et par ces valeurs , Féquation nf^p-^g" devient *^ + é'*=:/7t*. 



D'où l'on voit que s'il 'existe deux biquarrés a^, b^ dont la somme 

 soit égale à un quarré c^, il existera en même temps deux autres, 

 biquarrés beaucoup plus petits a^, é"^ dont la somme sera pareille- 

 ment égale à un quarré. 



(337) Et pour rendre sensible la petitesse de ceux-ci en com- 

 paraison des premiers , on déduira des valeurs précédentes , 



ce qui donne *'^ + ^^ =V/ [t<^'' + îV^('û!^ + ^^) ] , et par conséquent 

 et^4-^^<V/('<^^+^V' On remarquera d'ailleurs que a ni Cne peuvent 

 être zéro , parce qu'il s'ensuivroit Z? = o , cas exclu. 



S'il existe donc un quarré c' égal à la somme de deux biquarrés , 

 on connoîtra par son mo3^en un second quarré c'", pareillement égal 



à la somme de deux biquarrés , et dont le côté c' sera <<\/^ > -sans 

 être nul ; mais par la même raison , le quarré c'' en fera connoître 

 un troisième c''^ jouissant de la même propriété , et dont le côté c" 

 sera <l/c' sans être nul 5 ainsi de suite. Or il implique contra- 

 diction qu'une suite de nombres entiers c, c\ c\ &:c. dont chacun 

 est plus petit que la racine quatrième du précédent , sans être nul , 

 puisse être prolongée à l'infini. Donc il est impossible qu'un quarré 

 se décompose en deux biquarrés. 



Corollaire. La même démonstration prouve que la formule 

 m^ — in^ ne peut être égale à un quarré , si ce n'est lorsque /z = a. 



(338) Thkouème III. La formule x^ + 2 y^ ne peut éire égale 

 à un quarré j si ce n'est lorsque y = 0. 



Car si l'on fait x'^ + 2j^=z'.y il fau dra d'abord supposer z=p' -f 'iy', 



