4o6 THÉORIE DES NOMBRES. 



x"" =p'' — 2 q% j"" = 27; q ; ensuite l'équation x"" =/>' — 2 q'' donnera 

 ^ __ jji^ — 2 n-, jy = m^ -1- 2 7^*, q^=^im n. Ces valeurs étant substi- 

 tuées dans Téquation j^" = 2 j> ç' ^ on aura j' = 4 /7i/2(^w'4-2 /zV« 

 Pour satisfaire à cette dernière équation , j'observe que les nom- 

 bres m et n sont premiers entr'eux j car s'ils avoient un commun 

 diviseur , 7? et q en auroient un aussi , et par suite x et jr , ce 

 qu'on doit ne pas supposer. Donc si m n ( ni" -{- -2 n^ ) est un quarré , 

 il faudra que ses trois facteurs m , n , m^ -\- 1 rf soient chacun un. 

 quarré. Soit donc m^f% n —g" , et il restera à faire en sorte que 

 f^-^-ig'^ soit égale à un quarré. 



Cette formule est semblable à la proposée , et il est visible qu'elle 

 est exprimée en nombres beaucoup plus petits, car on a x^'-V Qy^^p^ 

 et par conséquent p ou p+ \/2g^<(x^-i- 2j^) } d'ailleurs les 

 nombres/et ^ne sont nuls , ni l'un ni l'autre , puisque s'ils l'étoient , 

 ils rendroient jK nul, ce qui est un cas dont on fait abstraction. 

 De-là il suit que si on a un quarré ^' qui soit de la forme 0:^ + 2^, 

 on pourra en déduire un second quarré ^'" qui sera de la même 

 forme , et dont le côté ^' sera <{^^ ■■ mais par la même raison 

 le quarré ^"^ en fera connoître un troisième ^"^ de même forme , 

 et ainsi de suite. Or il est impossible qu'une suite de nombres 

 entiers ^, ^', ^', &c. soit décroissante et prolongée à l'infini; 

 donc 11 est impossible que la formule x^ + 2j^ soit un quarré, à 

 moins qu'on n'ait j= o. 



Corollaire. Il suit de cette proposition , que la formule x^ — 8jk^ 

 ne peut non plus être égale à un quarré j car si on avoit x'^ — 8/ =2*, 

 il s'ensuivroit que z^ + 2 (2xj)^ est égale au quarré (x^i-8j^)% ce 

 qui ne peut avoir lieu que lorsque y = o. 



(339) Théorème IV. Aucun nombre triangulaire ^ excepté 

 Vanité , nest égal à un hiquarré. 



Soit, s'il est possible, ^x (x~\-'^)—y\ ou x(x-V\) — 2y'' '^ si 

 Ton fait y^mn^ m et n étant deux indéterminées , cette équa- 

 tion ne pourra se décomposer que de l'une de ces deux manières : 

 a; = 2 m^ ) , s :v + 1 = 2 ^/>^ ? , >. 



lesquelles donnent soit 1 =7ï^— 2m'^, soit 1 = 2 m^ — n\ 



