Q U A T R I È M E P A R T I E. ioj 



Laseconde combinairon donneroit m^ — /r =(m^ — i j>% équation 

 impossible, parce que le premier membre est de la forme /i' — cj\ 

 laquelle ne peut être un quarré , que dans le cas évident de 



La première combinaison donne i-\-7 m^ =n'^, équation égale- 

 ment impossible , parce qu'en vertu du Théorème précédent , le 

 premier membre ne peut être un quarré. Donc aucun nombre trian- 

 gulaire , excepté i , n'est égal à un biquarré. 



(34o) Théorème V. La somme ou la différence de deux cubes 

 ne peut être égale à un cube. 



Soit, s'il est possible, x''=i=y=;s'', on pourra supposer à l'ordi- 

 naire que les deux nombres x ei y sont premiers enlr'eux , et alors 

 j el z seront également premiers entr'eux , ainsi que x et z. Cela 

 posé , des trois nombres ^, j, z , il y en aura toujours deux impairs 

 et un pair j soient x tl y les deux impairs , qu'on peut toujours 

 placer dans un même membre -, si l'on fait x :±zj = 2 /> , x ■=f-y = '2qy 

 ou bien x=^p~\-q ^ ^j=p — ^, on aura par la subslituiion 

 2p(p^ + '6q^) = z^ ; et on observera ultérieurement, que puisque 

 pi-q et/? — q doivent être impairs^ il faut que p el q soient Tua 

 pair, l'autre impair 5 de sorte que p'^ + 'Sq^ sera toujours impair. 

 Mais 2p(p^ + dq') devant être un cube , il est clair que 279 sera 

 divisible par 8 , et ainsi/» sera pair et q impair. Maintenant il y a 

 deux cas à distinguer, selon quep est ou n'est pas divisible par 'â. 



(54i) Premier Cas. Si p n'est pas divisible par 3 , les facteurs 

 277, p^-{-5q^ seront premiers entr'eux , et si leur produit est un 

 cube , il faudra que chacun d'eux en soit un. Soit donc p^-^'5q^=r\ 

 alors r sera de la forme m' + 3 72% et on pourra faire p-\-q\/ — 3> 

 = (m+ny^ — 5f, ce qui donnera 



p = m^ 9 77Z 72* 



g = '5 m'^n — 3 n^. 



Ces valeurs satisfont à l'équation p^ + 5q'' = r^, mais d'ailleurs 



elles ont toute la généralité nécessaire, ainsi qu'on peut s'en assurer 



par la résolution directe de celte équation. Il ne reste donc plus 



qu'à faire en sorte que 2p o\x 2 m (m-^d n) (m — 3 n) soit un cube. 



