4o8 THÉORIE DES NOMBRES. 



Or il est aisé de voir que les trois facteurs de cette quantité sont 

 premiers entr'eux , et ainsi chacun d'eux doit être un cube j soit 

 en conséquence mAr'àn-=-Œ' , m^-'5n-=^P ^ im^zc^ ^ on aura 

 a"~{-b^ = c^. De-là on voit que si l'équation x^zkzy^ = z'^ est pos- 

 sible en nombres entiers, l'équation «^-fZ»'' = c^ semblable à la 

 première et exprimée en nombres beaucoup plus petits , sera éga- 

 lement possible. 



Soit ^ — x'^dtzy=7p(p^ + '5q^)^ et ^'=(2^3% on aura par 

 la substitution des valeurs précédentes , 



^ = (a' + b')a'P ( — ——, — ) , 



et à cause dea^ + i^>2a^è%cette formule donnera^> (a' + b'^)a'^b'\ 

 Mais (excepté dans le cas de a = ^r= i qui ne peut jamais avoir 



lieu) on a toujours a o\> 3 donc — est plus grand que 



( ) ou ( ) } donc <v/ — . Mais par le même raison- 

 nement on déduiroit du cube ^' un troisième cube ^'^ tel que j^'' 

 seroit <^f^^', et ainsi à l'infini : or il est impossible qu'une suite 

 de nombres entiers ^ , ^' ,^'\ &c. soit décroissante et prolongée 

 à l'infini j donc il est impossible que la formule 2/?(j?'' + 3^*^ soit 

 un cube , au moins lorsque p n'est pas divisible par 3. 



(342) Second Cas. Si p est divisible par 3, on fera p ='3r, et 

 la formule ipC p^+5ç^ ) deviendra i8r(ç''+ 5 r'' ). Maintenant 

 comme les facteurs 18 r, ^^ + 3;-'' sont premiers entr'eux , il faudra 

 que chacun d'eux soit un cube. Faisant donc d'abord q''~{-5r''= 

 (f^ + ^8^^\ ou plutôt q + r\/ — 3 = Cf+g^ — 3/, ce qui donnera 



9=f—9f8" 



il restera à faire en sorte que i8r ou '^J^'^gCf-^g) (f — g) soit un 

 cube." De-là on déduira comme ci-dessus /"-{- ^=a%/' — g^=b^, 

 '2g=c'j et par conséquent a^-T-b^ = c^. Or on fera voir de même 

 que le cube c^ égal à a^ + b^, est beaucoup plus petit que le cube ^^ 

 égal à ip (p'^-\-'5q''') ; on retombera donc encore sur une suite de 

 nombres entiers qui devroit être décroissaijte et prolongée à l'infini; 



d'où 



