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d'où Ton conclura que l'équation a7^±j'=z^ est impossible, à 

 moins que Fun des termes ne soit zéro. 



(343) Théorème VI. La somme ou la différence de deux 

 cubes inégaux ne peut être double d'un cube. 



Soit , s'il est possible y x'-à^y'^ — 2 z% les nombres x ^\.y qu'on 

 peut supposer premiers entr'eux seront tous deux impairs j ainsi 

 on pourra faire x^p + q^ -^iy—p—q^ ce qui donnera p(p'' + 'àq")—z^^ 

 et il faudra distinguer deux cas , selon que p est ou n'est pas divi-. 

 sible par 3. 



1°. Sip n'est pas divisible par 3, les deux facteurs p, p' + 3^* 

 seront premiers entr^eux , ainsi il faudra que chacun d'eux soit 

 un cube. Or en faisant p» + 3 ^' = (m" + 3 ri'f^ ou plutôt p + q /— 3 

 z^(m-\-n\/ — 'ôf, on aura comme ci- dessus , p = w^ — gm/z* = 

 m(m-\-'6n) (m — "on). Donc puisque ce produit est un cube , et 

 que ses trois facteurs sont premiers entr'eux , il faudra faire 

 m + 37z = a% m — 3aî = 6% m— c%ce qui donnera a^ + è^ = 2 c% 

 équation semblable à la proposée , mais exprimée en nombres beau- 

 coup plus petits. 



2**. Si p est divisible par 3 , soit p=^^r^ on aura 9r('3/'' + ç'*^=2% 

 de sorte que gr doit être un cube aussi bien que Sr' + ç'*. Celui-ci 

 devient un cube en faisant q-{-r\/ — 3=(f/;2 + /z\/ — 3/, ce qui 

 donne r=^'5m''n — '6n^, partant (^r^=^i']n(m-\-n) (m — n). Cette 

 quantité devant être un cube , on fera comme ci-dessus m + n=:a^^ 

 m — n=b^, n = c^, ce qui donnera de nouveau a^ + b^ =:2C^ -, équa- 

 tion encore semblable à la proposée , mais exprimée en nombres 

 beaucoup plus petits. 



De-là on conclura , comme dans les théorèmes précédens , que 

 l'équation proposée x^ =±=JK^ ^= 2 z^ est impossible , à moins que x 

 ne soit égal à y. 



(344) Théorème VU. ^ucun nombre triangulaire j excepté 1 y 

 n'est égal à un cube. 



Car supposons pour un moment qu'on ait t^^^+O^jK^î ou 

 x(x-\-\)^=^iy'^ 'y si on fait j' = m /î , m et 72 étant deux indétermi- 



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