Q U A T R I É M E P A R T I E. iii 



5. IL Théorèmes concernant la résolution en nombres 

 entiers de U équation x" — b=ay. 



(345) Si Ton satisfait à l'équation proposée en faisant .r = 9 , on 

 y satisfera plus généralement , en faisant x ^=^-]ra z , >z étant 

 un nombre indéterminé. Or dans la suite formée d'après le 

 terme général 9-}-az, il y aura toujours un terme compris entre 

 — -7 9 et ^9 j on peut donc regarder ce terme comme une solution 

 ou racine de l'équation proposée j et la question est de trouver 

 toutes les solutions ou racines de cette sorte dont l'équation pro- 

 posée est susceptible. Voici différens Théorèmes qui remplissent 

 cet objet dans le cas où a est un nombre premier 3 nous consi- 

 dérerons ensuite le cas où a est un nombre composé. 



x°— b 



(346) Théorème I. TJ équation = e , dans laquelle a 



a. 



est un nombre premier ^ et h un nombre non divisible par a ^ ne 



a — 1 



serapossible qu'autant qu^on aura =e, w étajit le commun 



a. 



d'ipiseur de n et de a. — 1 . Si cette condition est remplie , V équa- 

 tion proposée aura un nombre « de solutions qui seront comprises 



x" b'^ 



dans V équation = e , où tt est le moindre entier positif qui 



a 



satisfait à V équation ttu — ?(a — i) =«. 



Si l'équation proposée est résoluble , on aura , en rejetant les 



multiples de a , x^^=b j on a en même temps , par le Théorème de 



Fermât (n°. 12g) a;''~^=i. Les deux nombres n et a — 1 ayant pour 



commun diviseur m , si l'on fait n = ntù , a — 1 = a'co , il sera facile 



de trouver deux autres nombres positifs tt et ? tels qu^on ait 



Trn' — 9 a' = 1 . 



Maintenant des équations :ïr"'* = ô, a;"'*=i, on tire Z>'*^ = :r'^'V* 



=x^ ^ =x , donc X =^0 y ou. 



X — o 

 — e^ 



a 



Fff 2 



