4i2 THÉORIE DES NOMBRES. 



d'où l'on voit que Féqualion proposée ne pourra avoir qu'un 



nombre « de solutions (n°. i32) ; et pour qu'elle ait effectivement 



ces solutions , il faudra que les deux équations x'''°' = b , x"'"" = i 



puissent s'accorder entr'elles. Or ces dernières donnent x"''''"' = Z»"', 



^n/«/«__ i"'_ 1 . ^onc il faudra qu'on ait b'":=i , ou 



Z>" — 1 



= e. 



a 



Cette condition est la seule nécessaire , et toutes les fois qu'elle 



sera remplie , l'équation proposée aura un nombre w de solutions 



a -ITT 



X — b 

 contenues dans l'équation =^e. Or on s'assure que celle-ci 



a ^ 



a effectivement un nombre w de solutions, en observant que x"" — b^ 



est facteur de a;'''"— -^"'^ qui revient à .r'^-^ — i + ai?. 



Remarquez que si dans l'équation proposée n est plus grand que 



a — 1 , on peut ôter de cet exposant les multiples de a — i , et 



ne conserver que le reste positif. En effet x"-'' divisé par a , laisse 



le reste i j donc ^('^-^)'"+" divisé par a, laissera le même reste 



que A7". 



x^ b 



( 347 ) Il suit du Théorème précédent y que l'équation " = e 



a 



aura toujours une solution , quel que soit b , lorsque n et a — 1 

 seront premiers entr'eux j soit alors cr le plus petit nombre positif 

 qui satisfait à l'équation ir n — ?(^a — \)-=^\ , cette solution sera 



En général , ce Théorème a l'avantage d'indiquer tout à-la-fois 

 si l'équation proposée est résoluble , combien elle a de solutions, 

 et quelle est l'équation la plus simple qui contient toutes ces solu- 

 tions. Dans l'équation réduite , l'exposant de x sera toujours divi- 

 seur de a — 15 ainsi il ne s'agit plus que de trouver les solutions 



, ,, , . .v"— h j , . . .... 



de r équation — = e , dans la supposition que n soit diviseur 



de a — 1. Or il est facile de voir que si on connoît une des valeurs 

 de X , on les aura toutes en multipliant la valeur connue par les 



x" 1 



différentes racines de l'équation = <?; il convient donc avant 



a 



tout , de s'occuper de la résolution de cette dernière équation. 



