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X" — 1 



(548) Théorème II. Etant proposée l' équation = e , 



a 



dans laquelle a est un nombre premier , et n un diviseur de Sl — i , 

 en sorte quon ait a — i = a'n , 



\^ . On aura x= u^', u étant un nombre quelconque non divisible 

 par a. 



2°. Si ô est une valeur de x , ^"^ en sera une aussi j quel que 

 soit l'exposant m. 



n 



3°. 6*/ le nombre ô est tel que S" — i ne soit pas divisible par a , 

 V étant un diviseur premier de n j la formule x = 9™ contiendra 

 toutes les solutions de l'équation proposée j lesquelles seront i , 

 ô, â\ . . ô"~", ou les restes de ces quantités divisées par a. 



4°. Non-seulement il y a plusieurs nombres ô qui jouissent de 



cette propriété j mais le nombre enestufi jfi -/)fi ^7 )& c. , 



f, v', v^', &c. étant les dijférens nombres premiers qui peuvent di- 

 viser n. 



Car 1°. si l'on fait a?=«"', on aura or"—! =ii"'" — 1 = ^^""' — 1 , 

 quantité toujours divisible par a. 



2". Si ^=9 , on aura , en rejetant les multiples de (3, ô'^i : 

 faisant donc at = ô'% on aura pareillement a;'— ô'""=i, quel que 

 soit m. 



5°. L'équnlion proposée devant avoir n solutions , la formule 

 a; = 9" les donnera toutes , si dans la suite 1 , 5 , 6% 6\ . . ô'^"', il 

 n'y a pas deux termes égaux (en rejetant toujours les multiples 

 de a). Or supposons Ô'"=9\ il en résultera 6^=1 , <t étant i^. — a 

 ou h. — i/. , et par conséquent moindre que n. Mais comme on a 

 déjà ô" r= 1 , si on appelle s le commun diviseur de o- et de n , et qu'on 



résolve l'équation ny—crz — e, on aura ô"^^:^^" "^ ^3 le premier 

 membre j à cause de 9" — 1 , se réduit à 1 5 le second , à cause 

 de ô = 1 , se réduit à â'j ainsi on auroit 9' == 1 ; soit n = s n', et 

 n = 7î' V , V étant un nombre premier 3 puisqu'on a S = i,on aura 



aussi cl = 1 , ou y r.= 1 , équation impossible j puisqu'on a sup- 



fi 



posé dans l'énoncé du Théorème ^ que la quantités' — i ne peut 



