4i4 THÉORIE DES NOMBRE S. 



être divisible par a ; donc la formule ^ = 6"' renfermera implicite- 

 ment toutes les solutions de l'équation proposée. 



4°. Soit V l'un des diviseurs premiers de n ; de même qu'il n'y a 



que n valeurs de x qui satisfont à l'équation = <? , il n'y a 



n 



aussi que - valeurs de ô qui donnent 6'= i. Donc sur n valeurs 



V 



n 



Tjue doit avoir 9 dans Téqualion 9"— i , il y en a ?i qui ne 



n 



donnent pas 0'= i. Raisonnant de même à l'égard des autres fac- 

 teurs premiers dont n peut être composé , on conclura qu'il y a 



un nombre 7z(i— -) (^—7) ('"^"7)' ^^- ^^ valeurs de 9, 



n n n 



telles qu'aucune des quantités 9* — 1 , Ô" — 1 , 9' — 1, &:c. , n est 

 divisible par a. 



(549) Donc si n est un nombre premier , il suffira d'avoir une 

 valeur de x autre que l'unité , et cette valeur étant nommée 9 , 

 la formule x—^"' contiendra toutes les valeurs de x. 



Si 72 est une puissance d'un nombre premier v , pour que la valeur 

 ^=9 qui satisfait à l'équation x" = 1 , en donne la solution com- 



n 



plète , il faudra que 9"^ ne soit pas égale à +1, et alors on aura 



Enfin si n est de la forme V" v'^ v"y &c. comme on peut toujours 



îe supposer, je fais v*^/^, v'^^y' , v"y ^ i^' , &c. , et je résous 



séparément les équations 



^."-^i ^/*— 1 x^"—i .^ 



— e. ■ — e , = e ^ &c. 



a 'a a 



Soient x — K"^^ a;— x"% x — >^"'% &c. les solutions complètes de 

 ces équations , je dis qu'en prenant 9=rAÂV &c. , la formule a;=9"* 

 sera la solution complète de l'équation proposée. C'est un moyen 

 qu'on pourra mettre en usage , lorsqu'on n'aura pas rencontré tout 

 d'un coup, par la formule x^W^', le nombre 9 propre à donner 

 toutes les solutions. 



