QUATRIÈME PARTIE. 419 



donc de faire voir que b se trouvera toujours parmi les nombres 

 6", 9*", &c. Or puisque 6'" est la solution complète de l'équation 



X —^ 1 X ~^~ \ 



. — =^ , on aura 9""* pour celle de Féquation = ^ , et 



a CL 



puisque h'"=^ 1 , il est clair que b doit être un des nombres repré- 

 sentés par ô""". 



-ç" h 



Cette méthode pour résoudre l'équation =:^, n'est sujette 



à aucune exception ; mais il peut être plus ou moins long de cher- 

 cher b dans la suite ô", ô'", &c. , et pour qu'elle réussisse com- 

 plettement, il faut que le nombre w ne soit pas bien grand. Si l'équa- 



tion ^"= 1 résultoit de l'équation b^"':= — 1 j il ne faudroit cher- 

 cher b que dans la suite 9% S'", ô'% &c. 



Exemple. 



x^° 5 



(359) Soif l'équation — ^ =e,déjà traitée (357) 5 niais qui 



n'a pu se décomposer qu'en facteurs du second degré. On aura , 

 en rejetant les multiples de 601 , ô=5, è^=- — 1 , ^'*= 1 , et 

 ainsi ta -=^11. Maintenant la solution complète de l'équation 



x^'^'—x 



= ^, trouvée par le Théorème II, est x-=^( — i4o^'"j et 

 601 



par conséquent celle de l'équation — -^ ^=e estA7 = f — i4o^'°'* 



ou 120'" j donc b doit être compris dans la formule 120'", en prenant 

 pour [^ un nombre impair : or on trouve qu'il faut pour cela faire 

 ft = 5. Donc la solution complète de l'équation proposée sera 

 x=z( — i4o/'^'^'" ou a7 = 2i4.('i69J'". Les valeurs qui en résultent 

 sont =±:: 214, =i= 106 , ± 116, =t 229 , ±23/. 



(36o) Ayant trouvé un nombre 9 tel que ô" — b est divisible par 

 le nombre premier a , il est facile de trouver une valeur de x telle 

 que a;" — b soit divisible par une puissance quelconque a* de ce 

 nombre premier. Pour cela , soit 9" — bz=Ma , si l'on fait 

 j°. x=:9-f^a, et qu'on détermine ^ et M' par l'équation 

 3f-f «ô^-'^^aJi', il est clair que x'' — b sera divisible par a% 



Ggg 2 



