420 THÉORIE DES NOMBRES. 



Si on fait 2°. 9' = 6-i-^^, o^ = ô' + ^'û' , et qu'on détermine 

 ^'ct M'' ])ar\'équsiiioiiM' + nS"'-'^'=a'M",\ci quantité Jt?"— 6 

 sera divisible par a^. 



Si on fait 5\ r=^'^.A'a\ x = ^"^^"a\ et qu'on détermine 

 ^'^et M'" par réquatlon M" -\-n^"''-'^''=a^M'% le bmome x^—b 

 sera divisible par a^. 



On continuera ainsi jusqu'à ce que x" — b soit divisible par a*} 

 et si a n^étoit pas un terme de la suite 2 , 4 , 8 , 16 , &c. , on 

 voit aisément quel changement il faudroit apporter à la dernière 

 des équations indéterminées. Ainsi si on avoit « = 7 , au lieu de 

 la troisième équation M" -\- n^""-' ^" = a^ M'" ^ on prendroit 

 M" + nr-'-''^'' = a'3i% et la valeur 0; = r+^V rendroit x"— 6 

 divisible par a\ 



Nota. Si l'exposant n étoit divisible par a , il pourroit arriver 

 que quelqu'une des équations qui servent à déterminer ^ , ^\ 

 ^'\ &c. , fût impossible ; mais alors on auroit acquis la preuve 

 que ^" — b ne peut être divisible par a*. 



(.^61) Maintenant si Ton veut que x"" — 5 soit divisible par un 

 nombre composé quelconque ^= û* b^ c*^, &c. dont o*, Z)^, c'y, &c. 

 sont les facteurs premiers , élevés à des puissances quelconques , il 

 faudra , par ce qui précède , déterminer les nombres ^, /^^ f , &.c. , 

 tels que les quantités 



>^'-B f^ — B v^' — B 

 a* ' b^ ' cy ' • 

 soient des entiers. Ensuite on combinera ensemble les équations 



a; = A + a* z = /u+ Z>^z' = c + c^ >s'' = &c. 

 Et on obtiendra de cette manière toutes les valeurs de x , moindres 

 que 7^, qui rendent x" — B divisible par ^ , ou qui satisfont en 

 général à l'équation x' — B=^^y. 



Si on avoit à résoudre l'équation Cx" — B=^^y ^ on pourra sup- 

 poser que C et ^ n'ont point de commun diviseur 3 (car s'ils en 

 avoient un, on le feroit disparoître par la division). Soit donc 

 CjU — ^v=. 1 , si l'on fait y' r=yi.y — i/o;", l'équation à résoudre 

 deviendra x^ — B y- = ^y'^ et ainsi sera ramenée au cas déjà traité. 



