Ail THÉORIE DES NOMBRES. 



Celte quantité doit être un nombre entier, indépendamment de 



toutes valeurs de z et de z ^ il faut donc que ~ et ~ soient 



^ . , P P 



jdes entiers. Soit en conséquence 



<p=:zpnz:pq= p'ji 4- q' / (a) 



on pourra toujoui's déterminer /z et n' par réquationjOTzrpçf^p'/z' + y', 



puisque^ et p' sont premiers entr'eux 3 on aura ainsi la valeur de (p , 



laquelle donnera un nombre entier pour 4 = ; — • Car ayant 



PP 

 ç) r= p ;z rf= ç' j et q'^-\-a^=pr^ il s'ensuit que ?* + a est divisible 



par p ; ayant de même <p = p'rî + q' et ^''^ + <2 = pr' , il s'ensuit que 



.?'' + <3 est divisible parp'; donc puisque/) et p sont premiers entre 



eux, il faudra que ip'^-\-a soit divisible par py/. 



Les nombres n^n\(p ^ 4 étant déterminés comme on vient de le 



jdire , si l'on fait 



Y z=^(j:±inz) (y — n'z')drz-\zz' 



Z ^=- X z ^:3px'z—-(py^qz) z^ipÇp'y -\-q'z')z ^ ^ 



on aura le produit cherché 



^e sorte que ce produit sera contenu dans un nouveau diviseur 

 quadratique de la même formule f-^-au^. 



(363) On doit remarquer j à cause de l'ambiguïté du signe rfc: 

 dans l'équation (a) , que le problême considéré en général a deux 

 solutions. Mais il ne peut en avoir plus de deux. En effet, on 

 peut supposer les nombres/) et p' premiers l'un et l'autre j et le 

 diviseur quadratique , quel qu'il soit , qui renferme A a', sera tou- 

 jours de la forme ppy''-\-'2<py z-\-\z''^ où l'on a f~\-ar=zpp'\. Mais 

 lorsque les nombres/? et/)' sont premiers , il n'y a que deux valeurs 

 de (p , moindres que îp/?', qui rendent tp"" -^ a divisible par pp . Donc 

 il n'y a au plus que deux diviseurs quadratiques diiférens qui ren- 

 ferment le produit a a'. Je dis au plus ^ parce que dans quelques 

 cas particuliers les deux diviseurs quadratiques réduits à l'expres- 

 sion la plus simple , pourront coïncider en un seul , lequel con- 

 tiendroit A a' dans deux combinaisons différentes. Cela doit arriver, 

 ainsi qu'on en verra un exemple, lorsque la formule f-^-au" ne 



