QUATRIÈME PARTIE. 425 



Dans les deux cas , le produit est de même forme que les deux 

 facteurs j et en effet il ne peut être de forme différente , puisque la 

 formule T-f iGSw'' n'est susceptible que d'un seul diviseur quadra- 

 tique. 



(367) Problème II. Trouver le produit de deux dipiseurs 

 quadratiques semblables A=py * + 2qy z + rz%'A'=:py'* + 2qy'z' + rz'*. 



On pourroit , par une transformation , réduire ce problême au 

 précédent j mais il est plus simple de procéder à la résolution 

 directe de la manière suivante : 



Soit pj -\-q z=^x ^ pj ■\-qz' ^=. x\ on aura 

 à.^'p-'=(x'''Vaz') (x" + az'')^(xx'zkzazz/^a(xz^x'z)\ 

 Si dans les signes ambigus du second membre on prend le sign-e 

 inférieur , et qu'on remette les valeurs de x et x' ainsi que celle 

 de <2 , on aura xx'-^azz'=p''yy~{-pq(jz'-\-yz)-{-przz',et 

 xz — x'z :=p (y z — y'z) j d'où l'on tire , après avoir divisé par p% 



A a' = Cpyy' -\-q y z' -Yqy' z ■\-rzz' y -^-aÇy z' — y' z)"". 

 C'est la première valeur du produit a a', laquelle est de la forme 

 y'-\-az\ 



Pour avoir une seconde valeur de ce produit , supposons 

 AA'r=:p=r"^ + 2? 1^^ + 4Z% ct à l'ordinairc jD^4 — <p'' — a; nous 

 aurons a a'jd" = (p'Y-\- a Zy-^a Z^j de sorte qu'en compjarant cette 

 valeur à la première , on aura 



Z =■ X z' -=^1 x'z 

 p^Y+pZ = xx'^±:az z\ 

 substituant dans la dernière équation la valeur de a , ainsi que 

 celles de x , x', et Z , on en tire 



. r=(y+2=^.)(y+?=îz')±4..'. 



Donc pour que Y soit entier , indépendamment de toute valeur 



particulière de z et z', il faut que et soient des entiers ; 



de-là on voit que dans les signes ambigus on doit prendre seu- 

 lement le signe inférieur j c'est pourquoi faisant ? =zq\-p n , on aura 



Y=(y — nz) cy — nz')^4zz' 

 ^—P(y^' ^j'z) -^-^qzz'. 



Hhh 



