426 THÉORIE DES NOMBRES. 



Mais il reste à déterminer n de manière que 4 soit un entier : or on a 

 1= ■-— = ' LZ}J-I1—L— - ^ ^ + n\ Donc SI Fon 



cherche les plus petites valeurs de m et n qui satisfont à Féquation 



r = p m — 2 ç n y 

 tout es les conditions seront remplies 3 on aura ^rn^-fp/z, 4=''^ + /î^> 

 et le produit demandé sera dans sa seconde forme , 



aa' = p'Y'+ 2 çrz + 4'Z\ 



(368) Uéquation r=pm — 2qn dans laquelle m et w sont des 

 indéterminées, sera toujours résoluble tant que p et 2 q seront 

 premiers entr'eux ; elle le seroit encore , si jo et 2q 'àjant un 

 commun diviseur Ô , r étoit aussi divisible par 9. Ce cas cependant 

 importe peu à considérer , ou même doit être entièrement écarté , 

 parce qu'alors la formule pj^-^2qy z + rz'' ne pourroit représen- 

 ter que des nombres divisibles par S. 



Enfin il peut arriver que p et ç aient un commun diviseur & y 

 lequel ne soit pas commun avec r , alors l'équation r=^pm — 2qn 

 seroit impossible. C^est ce qui aura lieu dans les deux cas ci- après. 



1°. Si a est divisible par 9 et non par ô"*, car alors p divise bien 

 /* + aw% m^is jD* ne peut diviser cette formule qu'en supposant 

 que ^ et z/ ne sont pas premiers entr'eux. 



2°. Si ô étant diviseur commun de p et 5^ , les nombres p et a 

 sont divisibles par ô'' j car alors Inéquation pr — q^^^a pourroit avoir 

 lieu , sans que r fût divisible par 9. Dans ce cas , une simple trans- 

 formation du diviseur pj''-\-2qj z-\-r z'' préviendroit la difficulté 5 

 ou bien , comme ce diviseur est alors de la ïorme p^^'^y'' + 2q^yz -\- tz''^ 

 tandis que la formule qu'il divise est ii* + û'^'''^% on peut mettre _;j/ à 

 la place de 9^ , et z/ à la place de 9w , et on aura p'y''-\-2qyz-\-rz^ 

 pour diviseur de /M-aV. Or dans cette dernière forme , il n'y a 

 plus lieu à difficulté. 



(569) Si le nombre a est de forme 8 /z-j-S , et qu'en conséquence 

 les diviseurs quadratiques proposés soient A^^py^'-^qy z ^r'rz'^ 

 ^' ^^^py^-^^y'^' ■^^^'''i on trouvera par une analyse semblable à 



