4£8 THÉORIE DES NOMBRES. 



ué B 5 ^C, BB , &c. Si Ton trouve que le produit AB peut être 



à-la-fois de la forme C et de la forme D , on écrira AB^= ) n ' ^^ 



ainsi des autres. Or on conçoit que les produits deux à deux étant 

 trouvés , on en déduira aisément les produits trois à trois, quatre à 

 quatre , &c. 5 de sorte qu'on connoîtra en général les diverses formes 

 du produit qui résulte de tant de diviseurs quadratiques qu'on 

 voudra. 



Dans cette notation , il convient de distinguer BB de ^%- Fex- 

 pression BB désigne le produit de deux diviseurs quadratiques 

 semblables à B , mais dont les indéterminées sont différentes ; 

 l'expression B^ désigne le quarré du diviseur B , et suppose par 

 conséquent que les deux facteurs B et B sont identiques y tant dans 

 les coefficiens que dans les indéterminées^ cette circonstance apporte 

 une modification au résultat , car nous venons de voir que B^ n'est 

 susceptible que d'une forme , tandis que B B en a. toujours deux. 

 Une pareille différence se fera sentir dans les expressions BBB, 

 B^'B , jB% et autres semblables : il est donc nécessaire de cher- 

 cher à quelle forme doit répondre une puissance quelconque d'un 

 diviseur quadratique donné. C'est l'objet du problême suivant. 



( 37 1) Problême III. Étant donné un diviseur quadratique a 

 de la formule t^'-l-au*, trouver le diviseur quadratique de la même 

 formule , par lequel la puissance A° puisse être exprimée. 



Premier Cas. Soit le diviseur donné A=pj/'^-{-2 qfz~{-r z", et 

 supposons 5 pour éviter toute difficulté ^ que ce diviseur a été pré- 

 paré de manière que le coefficient p est un nombre premier non 

 diviseur de a. 



On peut d'abord démontrer qu'il n'existe qu'un seul diviseur 

 quadratique dans lequel a" puisse être contenu. En effet , quel 

 que soit le diviseur quadratique qui contient a", il devra contenir/»". 

 Or on a déjà prouvé (n**. 23? ) que p étant un nombre premier , 

 la puissance p" ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadra- 

 tique. Donc il n'y a aussi qu'un seul diviseur quadratique qui puisse 

 contenir a". 



Cela posé , puisqu'on a pr = q'^ + a , si l'on fait en général 



