QUATRIÈME PARTIE. 4q9 



lq-\-\/^ay = F-\-G\/—a,(q — x/—ay:=F—G\r—a, on 

 aura (q''+ ay ou p" f ^= F' A^ ci (J^ Or je dis que G el p sont pre- 

 miers entr'eux , car si G étoit divisible par p j F \e seroit aussi 



diaprés la dernière équation. Mais on a F=q" '- q"^" a + 



n.n — 1.72— 2. « — 3 , o • ' T 1 1 

 — — .q" ^a" — &c. , et SI on néglige les multiples de /)^ 



^ / 72.72 1 72.72 1.72 2.72 3 \ 



on aura a= — a\ et F=ç'' [ i H 1 \- &c. ) 



\ 1.2 1.2.0. 4 y 



= 2""'^". Donc q , et par conséquent a , seroit divisible par/? , ce 



qui est contre la supposition. 



Puis donc que G et p sont premiers entr'eux , on pourra faire 

 F= (p G-\-p"H . cp et tétant des indéterminées , et en substituant 

 cette valeur dans l'équation j9V"= Z^H-<2 G^, on en conclura que 

 ^' + <2 est divisible par jo", et qu'ainsi on peut faire ?^ + <3 =:p'''^. 



Ayant déterminé de cette manière les quantités 9 et 4 j on aura 

 le diviseur quadratique p''T^-i-2 (pYZ + '^Z^ lequel appartient à 

 la formule t^ + au", puisqu'on ajy"4 — (p^=a. Ce diviseur est celui 

 qui contient généralement la puissance a", puisqu'il contient le 

 nombre p"; mais il faut voir comment on déterminera X et ^ en 

 fonctions de y et z. 



Soit donc A"=p''r''+2<prZ + 4Z% ou ^"p^^Cp^Y+^Zy + oZ' : 

 on a d'ailleurs Ap = (pj + qzy-i-a z^; donc si l'on ï'ak pj-\-qz = a;y 

 p" Y+^ Z = X , on SLMra. X''^ a Z' = (x' -]- a z^y. Or on satisfait gé- 

 néralement à cette équation,en prenant X-[- Z \/ — a={x ~\- z \/ — o) ", 

 d'où l'on tire 



^ 72.72 1 72.72 1.72 2.72 3 , , 



X—x or" 'a z' + — x'^'-^a'z^^ &c. 



1.2 1.2.3,4 



^—^^n-,^ "•" — 1-" — 2 n.n^i.n — 2.72 — 3.72 — 4 



^ z=z nx z — X az 4- - /t-"— 5^»^5 e, „ 



1 '^*o 1. 2.0.4.5 



La valeur de Z est déjà exprimée par une fonction entière de x et 



de 



z , ou par une de j et de z ; quant à Y, on a Y= 



X—$Z 



P 



^"^ X.'—P'Z^ =X + aZ^—p^Z^ =.p''(A"—4Z') , donc il faut que 



X^—<p^Z^soïi divisible par p\ Mais on voit par l'équation/?--!— ;p^r=r2 

 que ? ne peut être divisible par p , puisqu'alors a seroit divisible 



