43o THÉORIE DES NOMBRES. 



aussi par p , contre la supposition. On ne peut supposer non plus 

 que Z soit divisible indéfiniment par p , car alors X seroit aussi 

 divisible par 7? , ainsi que x^ + az""'., donc en omettant les multi- 

 ples de j3 , on auroit az"^—^ x^, valeur qui étant substituée dans 

 celle de X, donne 



A=x"( 1+ -+ 5-7 ■ + 6<-c.) — 2" 'x i 



\ 1.2 1 .2.0.4 ^ 



donc il faudroit que p divisât x , et par suite z , ce qui ne peut avoir 

 lieu , puisque j et z sont des indéterminées à volonté. 



Puisque la quantité X* — <?^Z' est divisible par p% et que ses 

 deux facteurs X-{-(pZ , X — (pZ ne peuvent avoir p pour commua- 

 diviseur , il s'ensuit que l'un de ces facteurs est divisible par 7/. Et 

 comme le signe de ? est arbitraire , on poun-a supposer que X — ^Z 

 représente celui des deux facteurs qui est divisible par p". Donc 

 la valeur d^e Y développée en fonction de jk et ^ , sera un nombre 

 entier , quels que soient y et z. Donc le diviseur quadratique 

 p"V + 2 ? YZ-V-^Z" ainsi déterminé , sera égal à la puissance n du 

 diviseur proposé p r° + 2 qy z + r^'^. 



(372) Second Cas. Soit la formule donnée a =pj/* + ^jKz + r2% 

 où l'on suppose p •> q >, r impairs et i^pr — q''z=.a. 



On préparera encore , s'il est nécessaire , cette formule de ma- 

 nière que le coelEcient p soit un nombre premier , et on démon- 

 treroit d'ailleurs , comme ci-dessus, qu'il n'y a qu'un seul diviseur 

 quadratique qui puisse contenir la puissance demandée A". 



Représentons ce diviseur par la formule p'^Y'^Ar <(>Y Z + 4-^% il 

 faudra qu'on ait 4p"4 = ?^ + «. Or comme on a déjà ^kpr=^q^-\-a , 

 si l'on fait (fT^ + î/— a/ = ^ F+î G/— « , les nombres i^et G 

 seront toujours entiers (n°. 5j) ^ parce que a étant de la forme 

 87Z-1-5, — a est de la forme 4/2+1 : on aura en même temps 



(kq — i\/-^ci/ = jF—^G\/-^a, et par conséquent (^-^^-^ — J 



ou p^r" =^(F'i-a G^). Or on prouveroit , comme ci-dessus , que 

 F et G sont premiers entr'eux , ou qu'ils ont seulement 2 pour 

 commun diviseur ; donc on pourra faire jP=® G + 2p'' H, c'est- 

 ^-4ire qu'on pourra toujours déterminer le nombre impair <p Kjf 



