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F— çG . . 



tel que- — soit un entier. Celte valeur de F étant subsli- 



tuée dans Féquation ip"r" = F^-\-a G% on en conclura que \ — 



doit être un entier 5 et comme ^^'H-a est delà forme 872+4 , on 



aura en même temps — - — ^— égal à un entier. Soit donc «^ + «=4p'4, 



et il est clair que par le moyen de ? et 4- ? on aura entière^ment 

 déterminé le diviseur quadratique qui contient p", lequel sera 



Maintenant , je dis que ce diviseur contient en général a", en sorte 

 qu'on peut supposer /^T^ + ^rZ-}- 4^' r=A"r= Çpy'^ A^qy z-^r z^y -, 

 c'est ce qui sera évident , si de cette équation on peut tirer des 

 valeurs entières de 1^ et .Z" , quelles que soient les indéterminées jk 

 et z de la formule proposée. 



Or de Téquation précédente on tire 4 A"/>"~ (n p'Y -\- (^ Z y -\- a Z^ 



, / C'^py -{■ q zy a z'^\ . 

 = 4 ( — - — —^ ^~7~) ' P°"^ "" moment 2p"Y-\- ?Z=Xy 



7pj + çzr= X , on aura l'équation X^ + rtZ^ = /i, (ix^ + ^az^y. Of 

 on satisfait généralement à cette équation en prenant 



ax + iz^-ay=:iX+iZ^~-a^ 

 et on sait que les nombres X et ^ tirés de celle-ci seront lou- 

 eurs entiers 5 il reste donc à démontrer que l^est aussi un entier. 

 Or on a 2p"Y=X — <p Z et X' + aZ"- = 4 a''jd"3 substituant dans la 

 seconde , au lieu de a , sa valeur , 4jr?"4 — «p""} on aura X'' — <p''Z''' 

 = 4/)" ('a" — 4-Z''}. Or on prouvera, comme ci - dessus , que les 

 facteurs X — (p Z , X+(pZ n'ont point de commun diviseur autre 

 que 2j donc puisque X" — 'P^'Z^ est divisible par/?", il faut que 

 l'un des facteurs X — <pZ , X-^<pZ soit divisible par p", et comme 

 on peut prendre à volonté le signe de ?> , on pourra représenter 

 par X — ip Z celui des deux facteurs qui est divisible par/?"; il le 

 sera en même temps par 2p", parce que ç est impair 5 donc la 



. , ^ X—<pZ 



quantité Y= — sera toujours un nombre entier , ou plutôt 



2/? 



sera une fonction entière des indéterminées y et z. Donc la for- 

 mule p''Y''~>r?YZ-\r4'Z'' représentera en général la puissance n 

 de la formule ^ToposéQ.py'-\-gjz-{-rz'', 



