QUATRIÈME PARTIE. 44i 



§. y. Démonstration d'une propriété relative aux 

 diviseurs quadratiques de la formule f'-t-au''^ a étant un 

 nombre premier 8n+i. 



Un a déjà remarqué, n°. 2i5, que si dans la formule f^au^^ 

 a est un nombre de forme 8/2 + 5, deux dinseurs conjugués de 

 cette formule , tels que py"^ + 2 qy z-\-i mz^ 3 :2py*-^2 qy z-i-7n z" , 

 appartiendront toujours l'un à la forme 4'^+ 1 ? l'autre à la forme 

 4/2 — 1 j de sorte qu'alors il y a autant de diviseurs quadratiques 

 4«-i-i que de diviseurs 47z — 1 , et ce résultat a lieu quel que soit 

 le nombre a , pourvu qu'il ne sorte pas de la forme 8n~\-5. 



Au contraire , lorsque a est de forme 8n~{-i , les deux diviseurs 

 conjugués dont il s'agit sont tous deux de la forme d/z+i , ou 

 tous deux de la forme in — 1 , de sorte qu'on ne peut plus rien 

 conclure sur le nombre relatif des uns et des autres , et en effet 

 l'inspection de la Table IV fait voir qu'il y a à cet égard une 

 grande irrégularité. Mais lorsque a est un nombre premier , on 

 remarque dans cette même Table que le nombre des diviseurs 

 quadratiques in-{- 1 surpasse constamment d'une unité le nombre 

 des diviseurs 4" — i» Ainsi on voit que la formule t^ + iiu'' a trois 

 diviseurs quadratiques 4/2-f- 1 , et seulement deux in — 1 5 que la 

 formule t^^ + S^u* a quatre diviseurs quadratiques 4/z+i^ et seu- 

 lement trois 4^ — ' î &c. 



On s'assurera aisément de cette propriété dans beaucoup d'au- 

 tres cas particuliers -, mais il n'est pas aussi facile de l'établir d'une 

 manière générale et rigoureuse. Voici la série de propositions que 

 cette démonstration semble exiger : elles offriront en même temps 

 divers résultats remarquables qui contribueront à étendre et perr 

 feclionner les théories précédentes. 



(38i) Proposition I. Soit a un nombre premici- 4n+i , et soit 

 py" + 2qyz4-2mz* un diviseur quadratique 4 n 4- 1 , de la -formule 



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