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l'' + a u% je dis que V équation U^z=. py''4-2qyz + 2mz'' sera tou- 

 jours résoluble. 



Car si l'on multiplie cette équation par jj , et qu^on fasse 

 ■py-\-q z-=.x ^ on aura p£/^ = a7° + a ^% équation toujours possible 

 (Voyez n°^ 27 et 196). 



Il est inutile d'observer que sipj/' + 2 qy z-\-imz'' étoit un divi- 

 seur 4/2 — 1, l'équation £/"'=/? jK^ + 2 qyz-\-imz'' seroit impossible^ 

 puisqu'aucun quarré ne peut être de la forme 4/2 — i. 



(382) Proposition II. a étant un nombre -premier 8n + i 3- 

 la formule t^' + au* aura toujours un diviseur quadratique de la 

 forme fy^ + 2gy z + sf 7.\ 



Car on peut toujours (n.°. 147) satisfaire àréquationa=2/* — g" y 

 laquelle étant posée , il s'ensuit quej5<'+2^j-z4-2/>z% ou l'expres- 

 sion la plus simple de cette formule, est un diviseur quadratique 

 de la formule r-i-a«\ 



Remarquez que le diviseur fy"" + 2 g y z + ifz"" ne diffère pas de 

 son conjugué j dans ce cas , par conséquent , les deux diviseura 

 conjugués se réduisent en un seul , qu'on peut appeler diviseur 

 singulier^ 



(383) Proposition III. a étant un nombre premier ^n-\-i y 

 il y a toujours une infinité de valeurs de { et de ^ qui satisfont à 

 l'équation 1 P — g*" = a , néanmoins il n'en peut résulter qu'un seul 

 diviseur quadratique de la formule t'' + a u''. 



Car on trouvera aisément (n°. 38) que la série des valeurs 

 de /et ^ qui satisfont à l'équation 2/' — g^z=ç^ est telle qu^e 

 si /' et g suivent immédiatement jTet ^ , on a 



f' = Zf+7g,g' = 5g+if. ■ 

 De ces nouvelles valeurs résulte le diviseur quadratique singulier 

 (^f+'2g)y^-\-i(^g^if)yz-\-i(df-\-'ig)z\ 



Or si dans ce diviseur on fait y^z^nz' — y', z^=-y' — z\ (ce qui 

 ne restreint pas la généralité des variables jy etz) , on aura pour 

 transformée ^''+ 2 ^j'^'-f 2/s'"j d'où l'on voit qu'en effet le 

 diviseur quadratique j'y" + -ig'yz-ir 2/V n'est pas différent de 

 fy''i-2gyz + 2fz\ 



