Q U A T R I Ê M E P A R T I E. 443 



Corollaire. De-là il suit que a étant un nombre premier 8/z+ i , 

 les diviseurs quadratiques de la formule f'-Vaiû' seront composés de 

 plusieurs couples de diviseurs conjugués et d'un diviseur singulier. 

 Le nombre total de ces diviseurs sera donc toujours impair, et 

 ainsi il est impossible que le nombre des diviseurs in-\-\ soit égal 

 ^u nombre des diviseurs 4;z — i. 



( 384 ) Proposition IV. Le quarré (Vun diçiseur quadratique 

 p y* + 2 q y z + 2 TT z% et celui de son conjugué 2 p y ^ + 2 q y z + tt z% 

 .^ont compris dans un même diviseur quadratique ^''y^^ + '2<pjz-\-'^z''. 



Car suivant la méthode du n°. 367 , si l'on détermine // et v par 

 l'équation tt =piJ^ — qv , qu'ensuite on fasse ^ =^ + 7;, 4= i/^ + 2/^., 

 Y^j"" — 2vy z — 2//^% Z = 2z (py-i-qz) , on aura 



Cpy+2qfZ + 2 7rz''X=^p'Y^-i-2^YZ + 4'Z\ 



Dans cette équation , qui doit être identique , mettons ij à la 

 place de j , et comme alors Y devient pair , ainsi que Z , fai- 

 sons Y=2Y' , Z — 2Z', ce qui donnera Y'=2j^ — 'ivyz — //z% 

 ^'= z (7 pj + q z) j-nons aurons par la substitution, et après avoir 

 divisé par 4 , ' 



(2py'-i-2qfZ'\-7rz')'=p'Y''-^2(pY'Z'-\-'^Z'\ 



Donc le même diviseur quadratique p^7^-|-2 ?jk z + ^-z*, qui con- 

 tient le quarré du diviseur p y" ■]- 2 q y z -{- 2 tt z"" , contient aussi le 

 ^quarré de son conjugué 2py'''\-2qyz-{-7rz*. 



Corollaire. Étant proposée l'équation l/'^PY + zQYZ i-IiZ% 

 si on en connoît une solution comprise dans la formule U=py'' 4* 

 2 5^72 + 2 77 z', il y aura toujours une autre solution donnée par 

 la forme conjuguée U= 2 pjr''-i-2qjz-i-'7rz''. Ces deux solutions 

 se confondent en une seule , si la valeur de U est égale au diviseur 

 quadratique singulier, c'est-à-dire si l'on a U=^fy''-\-2gyz-\-2fz'^i 

 mais alors le second membre de l'équation proposée seroit de la 



forme 2Y'-^2YZ-v(~^^Z\ 



(385) Proposition Y. pétant un nombre premier ^ ainsi que q.^ 

 si l'on a p* = M* + aN%7e dis que ^^ ou 2^ sera nécessairement 



Kkk 2 



